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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Poitiers septembre 1951~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire les droites $D$ et $D'$ d'équation 
\begin{center}$y - 3x + 1 = 0$,\qquad 
$3y+ x - 2 = 0$.\end{center}
\item Calculer les coordonnées de leur point de rencontre I.
\item Ces deux droites coupent l'axe des $y$ en A et A$'$.

Démontrer que le triangle AIA$'$ est rectangle.
\item Dans quelle région du plan doit se trouver le point M pour que ses coordonnées vérifient le système 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
y -3x + 1& >&0,\\
3y + x - 2 &<&0.
\end{array}\right.\]

(On prendra pour unité de longueur $u = 3$ cm.)
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\smallskip

On donne un triangle ABC rectangle en B.

On pose AB $= b$ et BC $= a$\: ($b > a$).

Sur ces côtés comme hypoténuses, on construit les triangles rectangles isocèles DAB et BEC.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les points D,  B, E sont alignés.
\item Calculer l'aire du trapèze ADEC.
\item M étant le milieu de [AC], on trace les segments de
droites [MD] et [ME].

Démontrer l'égalité $\widehat{\text{DME}} = 90\degres$.
\item On prolonge [DE] et [AC] jusqu'à leur rencontre en G.

Calculer le rapport $\dfrac{\text{aire triangle GEC}}{\text{aire triangle GDA}}$, en fonction de $a$
 et $b$.

Si ce rapport est égal à $\dfrac49$ quelle relation y a-t-il
entre $a$ et $b$ ?
\end{enumerate}
\end{document}