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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Poitiers septembre 1955~\decofourright\\[7pt]Enseignement long et enseignement court}}}
\end{center}

\smallskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 


Résoudre le système de deux équations à deux inconnues
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x + y -1 &=& 0,\\
2x + y - 4&=&0
\end{array}\right.\]

\item Construire sur un même graphique les droites d'équations
\begin{center}$x + y - 1 = 0$,\qquad et \qquad $2x + y- 4 = 0$.\end{center}
et vérifier le résultat obtenu au paragraphe précédent.

(On prendra comme unité sur chacun des axes O$x$ et O$y$ le centimètre.)
\item On désigne par A et B les points où la droite d'équation $x +y - 1 = 0$ coupe les axes O$x$ et O$y$; par A$'$ et B$'$ les points où la deuxième droite coupe les axes O$x$ et O$y$.

Calculer les coordonnées des points A, B, A$'$, B$'$ et trouver l'aire du quadrilatère ABB$'$A$'$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\medskip

n considère un segment de droite [AB]. De A et B, dans le même sens, on mène les demi-droites perpendiculaires à (AB), soient A$x$ et B$y$.

Soit D un point variable de B$y$; du point B on mène la perpendiculaire à (AD), qui coupe (AD) en I et A$x$ en C.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le point I appartient à une  cercle fixe $\mathcal{C}$, de centre O.
\item Démontrer les relations

\begin{center}AB$^2$ = AC $\cdot$ BD\quad et \quad AB$^2 + $CD$^2 =$ AC$^2 +$ BD$^2$.\end{center}
\item Montrer que la tangente au cercle $\mathcal{C}$ en I passe
par les milieux de [AC] et de [BD].
\end{enumerate}
\end{document}