\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\tracingtabularx
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {B.E.P.C.},
pdftitle = {Poitiers septembre 1958},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Poitiers}}
\rfoot{\small{septembre 1958}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Poitiers septembre 1958}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre sous la forme de produit de facteurs du premier degré les expressions suivantes:
\begin{center}$A = \left(x^2 - 2x + 1\right) - (x - 1)(2x + 3)$\quad  et \quad $B = x^2- 16$.\end{center}
\item Simplifier la fraction $\dfrac AB$.
\item Quelles valeurs faut-il donner à $x$ pour que $\dfrac AB = 0$,\quad $\dfrac AB = 1$ ?

Pour quelle valeur de $x$ la fraction $\dfrac AB$ n'a-t-elle pas de sens?
\item Représenter sur le même graphique les variations des fonctions suivantes :
\begin{center}$y_1 =- x + 1$\quad et \quad $y_2 = x - 4$.\end{center}

Peut-on, à l'aide du graphique, retrouver les résultats
du 3. ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soit un triangle rectangle ABC dont les côtés de l'angle droit [AB] et [AC] mesurent respectivement 6~cm et $8$~cm ; on construit la bissectrice [AD) de l'angle droit (D sur (BC)) et de D on abaisse les perpendiculaires (DH) et (DK- à (AB) et (AC).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que DH = DK ; calculer, en fonction de DH $= x$, les aires des triangles ABD et ADC.

Déterminer l'aire du triangle ABC ; en déduire la valeur de $x$.
\item Démontrer que le quadrilatère AKDH est un carré.

Calculer AD, BC, BD et DC.
\item Tracer la médiane [AM] du triangle ABC (M milieu de [BC]), puis le cercle $(\mathcal{C})$ circonscrit au triangle ADM ; il coupe (AB) en E et (AC) en F.

Calculer BE et CF ; en déduire le rayon du cercle $(\mathcal{C})$.

Montrer que

\begin{center}BE = ED = DF = FC.\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}