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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Poitiers}}
\rfoot{\small{septembre 1959}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle septembre 1959~\decofourright\\[7pt]
Poitiers}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip



%\medskip

\begin{enumerate}
\item Décomposer en produit de facteurs l'expression 
\[A(x) = (2x - 1)(3x + 1) - (2x - 1)^2.\]

Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $A(x) = 0$ ?
\item Simplifier la fraction
\[y = \dfrac{(2x - 1)(3x + 1) - (2x - 1)^2}{x + 2}.\]
\item Construire les droites $D_1$ et $D_2$ représentant graphiquement les variations des fonctions 
\begin{center}$y_1 = 2x - 1,$\qquad  et \qquad $y_2 = -5x + 2$.\end{center}

(On prendra le centimètre comme unité de longueur sur chaque axe.)
\item Par un point M de l'axe des ordonnées on mène la parallèle à l'axe des abscisses, qui rencontre $D_1$ en A et $D_2$ en B.

Si $h$ est l'ordonnée de M, évaluer, en fonction de $h$, les abscisses respectives de A et B.

Déterminer $h$ pour que M soit le milieu de [AB].
\end{enumerate}

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soit un demi-cercle de diamètre [AB] tel que AB $= 2 R$, de centre O.

Une tangente mobile touche le cercle en M et rencontre en C et D les tangentes (fixes) en A et B.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle COD est rectangle et que le produit AC $\times$ BD reste constant quand la tangente varie.
\item On appelle H le pied de la perpendiculaire abaissée de M sur  (AB).

Démontrer l'égalité $\dfrac{\text{HA}}{\text{HB}} = \dfrac{\text{AC}}{\text{BD}}$.

En déduire que les triangles AHC et BHD sont semblables et que [HM) est bissectrice de l'angle $\widehat{\text{CHD}}$.
\item Démontrer que le produit CD $\times$ MH reste constant quand la tangente varie.

[On pourra comparer le triangle MOH au triangle obtenu en menant par D (ou C) la parallèle à (AB).]
\end{enumerate}
\end{document}