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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Poitiers septembre 1961~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Décomposer en produit de deux facteurs $\left(y_1 \times y_2\right)$ l'expression

\[\left(\dfrac 34 x + 2\right)^2 - \left(\dfrac 54 x - 1\right)^2.\]

\item $y_1$ et $y_2$ sont deux fonctions de la variable $x$, qu'on demande d'étudier et de représenter graphiquement dans le même système d'axes (unité : le centimètre).
\item Apprécier les coordonnées du point de rencontre, A, des graphiques et déterminer leurs valeurs exacte par le calcul.

Etablir l'équation de la droite (OA) et calculer la longueur du segment [OA].
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Tracer un cercle (O) de 2 cm de rayon.

Construire un point P, tel que l'angle $\widehat{\text{APB}}$ des tangentes (PA) et (PB) au cercle (O) soit égal à $60\degres$.

Justifier la construction.
\item Le point P ainsi construit est fixe; M est un point quelconque de la circonférence (O) ; la tangente $(\Delta)$ à ce cercle en M coupe (PA) en S et (PB) en R.

Les droites (MA) et (MB) coupent respectivement en C et D la parallèle $\left(\Delta'\right)$ à $(\Delta)$ menée par P.
	\begin{enumerate}
		\item Comparer les triangles SAM et PCA, puis les triangles RBM et POB.
		
En déduire que la longueur du segment [CD] est indépendante de la position du point M et que P est le milieu de [CD]
.
Envisager le cas où M est diamétralement opposé à A ou à B.
		\item (AD) coupe la circonférence (O) en H.
		
Donner la valeur de l'angle $\widehat{\text{CAO}}$.

Montrer que H est diamétralement opposé à M et que H est l'orthocentre du triangle MCO.
		\item Construire le point M pour que MC = MD. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}