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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Poitiers}}
\rfoot{\small{septembre 1962}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Poitiers septembre 1962}}

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT.

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Soit l'expression algébrique
\[E(x) = (2x - 3)(x - 1)^2 - 4(2x - 3).\]

	\begin{enumerate}
		\item Décomposer $E(x)$ en un produit de facteurs du premier degré.
		\item Déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $E(x) = 0$.
	\end{enumerate}
\item Simplifier la fraction rationnelle
\[F(x) = \dfrac{(2x - 3)(x - 1)^2 - 4(2x - 3)}{(x - 3)(x + 1)^2}.\]
(Le numérateur est l'expression $E(x)$.)

Calculer, à un millième près, la valeur numérique de $F(x)$ pour $x = \sqrt 2 + 1$.
\item Dans un système d'axes rectangulaires, $x'\text{O}x$ et $y'\text{O}y$, gradués en centimètres, représenter graphiquement les fonctions
\begin{center}$y = 2x - 3$\qquad et\qquad  $y = x + 1$.\end{center}
\item Déterminer la valeur de $x$ pour que la fraction $F(x)$ soit égale:
	\begin{enumerate}
		\item à l'unité ; 
		\item à $\dfrac13$.
	\end{enumerate}
Vérifier les résultats trouvés sur le graphique construit à la question 3.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
{\large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soit un demi-cercle de centre O, de diamètre [AB] tel que AB $= 2R$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le point C du segment [AB] tel que $\dfrac{\text{CA}}{\text{CB}}  = \dfrac13$.

Par le point C on élève la perpendiculaire à (AB) qui coupe le demi-cercle en M.

En M, on mène la tangente au demi-cercle, qui coupe la droite (AB) en I.
\item Quelle est la nature du triangle MOA ?

Calculez MA et MC en fonction de $R$.

Montrer que [MA) est bissectrice de l'angle $\widehat{\text{CMI}}$.

Qu'en résulte-t-il pour (MB) ?
\item Calculer, en fonction de $R$, les longueurs des segments [MB], OI, MI et AI.

Vérifier que $\dfrac{\text{AI}}{\text{AC}}  = \dfrac{\text{MI}}{\text{MC}}$.

Pouvait-on prévoir ce résultat ? 

Quelle est la nature du triangle IMB ?
\item On mène en I la perpendiculaire au plan du demi-cercle, sur laquelle on marque un point S tel que SI $= 2 R$.

On trace [SM] et [SO].

Calculer SM et SO en fonction de $R$ et en déduire que le triangle SMO est rectangle.
\end{enumerate}
\end{document}