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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Poitiers septembre 1970~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

Soit l'expression
\[E(x) = (3x - 2) (2x + 1)- (3x - 2)^2 + 9x^2 - 4.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire cette expression, puis l'ordonner par rapport aux puissances décroissantes de $x$.
\item Décomposer cette expression en un produit de facteurs et déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $E(x) = 0$.
\item Représenter graphiquement les fonctions 
\begin{center}$y_1 =3x - 2$\quad  et\quad  $y_2 = 2x + 5$.\end{center}

Le graphique permet-il de retrouver les valeurs de $x$ pour lesquelles $E(x) = 0$. ?
\item Calculer les coordonnées du point d'intersection, A, des droites représentatives de $y_1$ et $y_2$.

Le point A appartient-il à la représentation graphique de la fonction $y = 3x + 7$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Un triangle ABC est inscrit dans un cercle de centre O et de rayon $R$.

On trace le diamètre [AD] et les hauteurs [AA$'$] et [BB$'$], qui se coupent en H.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les triangles BB$'$C et ADB sont semblables; en déduire la relation
\[\dfrac{\text{BC} \times \text{BD}}{\text{B}'\text{C}}  = 2R.\]

\item Démontrer que les quatre points A, A$'$, B et B$'$ appartiennent à un même cercle ; en déduire la relation
\[\text{HA} \times\text{HA}' = \text{HB} \times\text{HB}'.\]
\item Démontrer que (DB) est tangente au cercle circonscrit au triangle AA$'$B$'$.
\item Calculer AB en fonction de $R$ dans chacun des cas suivants:
\begin{center}$\widehat{\text{ACB}} = 30\degres, \quad  \widehat{\text{ACB}} = 60\degres$, \quad et \quad $\widehat{\text{ACB}} = 45\degres$.\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}