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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Poitiers septembre 1973~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction polynôme $f$ définie par
\[f(x) = (2x - 1)^2 + 4x^2 - 1 + 3(1- 2x)(x + 1).\]

	\begin{enumerate}
		\item Écrire $f(x)$ sous forme d'un polynôme réduit et ordonné.
		\item Factoriser $f(x)$.
	\end{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction rationnelle définie par
 \[g(x) = \dfrac{f(x)}{x^2 - 6x + 9}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le domaine (ou ensemble) de définition,  de $g$.
		\item $g$ est-elle une application de $\R$ dans $\R$; de $\D$ dans $\R$  ? (justifier les réponses)
		\item Donner une forme simplifiée de $g(x)$.
		\item Résoudre dans $\D$ l'équation 
		\[g(x) = \dfrac32.\]
		\item Calculer $g\left(\sqrt 2 + 2\right)$.
		
On donnera le résultat sous la forme d'un rapport dont le dénominateur est rationnel.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Dans un plan euclidien muni du repère orthonormé \Oij{} on considère les points A, B et C tels que

\begin{center}$\vect{\text{OA}} = - \vect{\imath} + \vect{\jmath},\quad \vect{\text{OB}} = \vect{\imath} + 3\vect{\jmath}$,\quad et \quad $\vect{\text{OC}} = 5 \vect{\imath} - \vect{\jmath}$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du milieu, I, de (B, C).
		\item Par le point I on trace la parallèle à la droite (AB).
		
Elle coupe la droite (AC) en J.

Calculer les coordonnées de J.
		\item Calculer les distances $d$(J, A) et $d$(J, B), puis montrer que la droite (JI) est médiatrice du segment [BC].
		\item En déduire que le triangle (A, B, C) est rectangle en B.
		\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{BA}}$ et $\vect{\text{BC}}$.
		\item Calculer les normes des vecteurs $\vect{\text{BA}}, \:\vect{\text{BC}}$ et $\vect{\text{AC}}$.
	\end{enumerate}
\item Soit D le symétrique de A par rapport au milieu, M, de (B, J).

Déterminer la nature des quadrilatères (A, B, D, J) et (C, D, B, J).
\end{enumerate}
\end{document}