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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Poitiers septembre1974~\decofourright}}}\end{center}
\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

On considère les fonctions polynômes définies dans $\R$ par
\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=&(x -3)(x - 1) + x^2 - 9\\
g(x) &=&(x - 3)^2 - (x - 5)(2x - 6) - (3x - 9).
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Écrire $f(x)$ et $g(x)$ sous forme de produits de polynômes du premier degré.
\item Résoudre dans $\R$ les équations suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item $g(x) =0$,
		\item $f(x) = g(x)$.
	\end{enumerate}
\item Soit $h$ la fonction rationnelle de $\R$ vers $\R$ définie
par
\[h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}.\]

Déterminer l'ensemble de définition, $\mathcal{D}$, de $h$.

Montrer que $h(x)$ est égale à $h'(x) = \dfrac{2(x + 1)}{-x + 4}$  pour tout élément
$x$ de $\mathcal{D}$.
\item Construire dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij{} les représentations graphiques $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ des fonctions affines définies par \begin{center}$f_1(x) = - 2x - 2$\quad et \quad $f_2(x) = x + 4$.\end{center}

\item Lire, sur le graphique, les coordonnées du point J, intersection des droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$.

Vérifier ce résultat par le calcul.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Dans le plan euclidien rapporté à un repère orthonormé \Oij, on considère les points A et B définis par 
\begin{center}$\vect{\text{OA}} = 3\vect{\imath} + 2\vect{\jmath}$\quad et  \quad $\vect{\text{OA}} = - 2\vect{\imath} - 3\vect{\jmath}$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du milieu, I, du bipoint (A, B).
\item On considère le cercle $(\mathcal{C})$ de centre I, qui passe par les points A et B.

Quel est le rayon de ce cercle ?
\item Soit M le point du plan défini par 
\[\vect{\text{OM}} = 3\vect{\imath} - 3\vect{\jmath}.\]

Calculer la distance $d$(I, M) (ou IM).

Le point M est-il situé sur le cercle $(\mathcal{C})$ ?
\item Montrer que les droites (IM) et (AB) sont perpendiculaires et que le triangle AMB est rectangle en M.
\item Quelle est la fonction affine représentée par la droite (AB) ?

Quelle est la fonction affine représentée par la tangente en M au cercle $(\mathcal{C})$ ?
\end{enumerate}
\end{document}