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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Poitiers septembre 1975~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}\textbf{Algèbre}\end{center}

\smallskip

On considère les applications $f$ et $g$ définies dans $\R$ par:
\[\begin{array}{l c l}
f(x) &=&(3x - 2) (5x + 6) - 3(6x - 4),\\
g(x) &=&(4x - 3)^2 - \left(x^2 - 2x + 1\right).
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $f(x)$ et $g(x)$ sous la forme de produit de facteurs du premier degré.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = g(x)$.
\item Soit $h$ la fonction rationnelle définie par:
\[h(x) = \dfrac{5x (3x - 2)}{(3x - 2)(5x - 4)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Quel est son ensemble de définition $\mathcal{D}$ ?
		\item Simplifier l'écriture de $h(x)$ dans $\mathcal{D}$.
		\item Calculer $h\left(\dfrac{2}{15}\right)$ et $h\left(\sqrt 2\right)$.
		
On donnera les résultats sous la forme d'un  quotient dont le dénominateur est entier.
	\end{enumerate}
\item Dans un plan rapporté à un repère orthonormé \Oij{} placer les point A(0~;~4) et B(1~;~1). (Unité de longueur : le centimètre).
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'équation de la droite $(D)$ qui contient les points A et B.
		\item Construire la droite $(D)$ et la droite $(D')$ représentant la fonction linéaire $p$ définie par : $p(x) = 5x$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble des couples $(x~;~y)$ de réels tels que l'on ait simultanément :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
5x - y &=&0\\
5x - y& =&4.
\end{array}\right.\]

Interpréter le résultat graphiquement.
\end{enumerate}


\begin{center}\textbf{Géométrie}\end{center}

\smallskip

Dans le plan rapporté au repère orthonormé \Oij{} on considère les
points
\begin{center}A(1~;~2), \quad B(- 3~;~0), \quad  et \quad C(3~;~2).\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A, B, C.

Montrer que le triangle (A, B, C) est rectangle et isocèle.
\item Soit I le milieu du segment [BC]. Calculer ses coordonnées.
\item Soit J la projection orthogonale de I sur la droite (AC).

Montrer que la droite (IJ) est la médiatrice du segment [AC].

Calculer les coordonnées du point J.
\item Soit D le point symétrique de B par rapport à J.

Quelles sont les coordonnées du point D ? 

Que peut-on dire du quadruplet (A, B, C, D) ?
\item Donner en degrés l'écart angulaire $u$ de l'angle géométrique $\widehat{\text{ABC}}$.

En déduire $\sin u$.
\item Soit K le point tel que $\vect{\text{IK}} = 2\vect{\text{IJ}}$.

Quelle est la nature du quadruplet (A, I, C, K) ?
\end{enumerate}
\end{document}