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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Poitiers septembre 1976~\decofourright}}}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

Soit deux applications $f$ et $g$ de $\R$ dans $\R$ définies par 

\[f(x) = \dfrac{1}{2}x + 3\quad  \text{et}\quad  g(x) =3x - 4.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Écrire sous la forme d'un polynôme réduit et ordonné

\[[f(x)]^2,\quad [g(x)]^2, \quad f(x) \cdot g(x), \quad (g \circ f)(x).\]

\item Résoudre dans $\R$

\[f(x) = g(x) \qquad \text{et} \qquad f(x) \geqslant g(x).\]

\item  Factoriser

\[\left(\dfrac{1}{2}x + 3\right)^2 - \left(3x - \dfrac{3}{4}\right)^2.\]

\item Représenter graphiquement les applications $f$ et $g$ dans un plan muni d'un repère \Oij.

Indiquer comment on peut vérifier à l'aide du graphique les résultats de la question \textbf{2.}
\item Soit $A =[- 2~;~2]$ un intervalle de $\R$. On désigne
par $f'$ et $g'$ les applications de $A$ dans $\R$ telles que

\[f'(x) = \dfrac{1}{2}x + 3\quad  \text{et}\quad  g'(x) =3x - 4.\]

Représenter graphiquement les applications $f'$ et $g'$. (On fera une deuxième figure distincte de la précédente.)

Résoudre, dans $A=[- 2~;~+2]$, 
	\begin{enumerate}
		\item l'inéquation $f'(x) \geqslant g'(x)$,
		\item l'équation $f'(x) = 0,3g'(x)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE} \end{center}


Placer, dans un plan muni d'un repère orthonormé \Oij, les points

\[\text{A}(0~;~7),\quad \text{B}(-4~;~0)\,\, \text{et \,\,C}(2~;~3).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le triangle (ABC) est rectangle.
\item Calculer les coordonnées du point D, symétrique de A par rapport à C,
\item G est l'image de A dans la translation de vecteur $\vect{\text{BD}}$.

Calculer les coordonnées de G et établir la nature du quadruplet (A, G, D, B).
\item La droite (CB) coupe l'axe des ordonnées en E.

Déterminer le réel $k$ tel que $\vect{\text{EC}}= k\vect{\text{BC}}$.
\item La parallèle à (AC) passant par E coupe (AB) en P.

Déterminer le réel $k'$ tel que $\vect{\text{BA}} = k'\vect{\text{AF}}$.
\item Calculer la tangente de l'écart angulaire de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$.
\end{enumerate}
\end{document}