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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1977}
\rfoot{\small Poitiers}
\lfoot{\small septembre 1977}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Poitiers septembre 1977 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

On considère les applications

\[\begin{array}{l l c l}
f :& \R&\to &\R\\
&x &\longmapsto&\dfrac43 x - 1
\end{array}\quad \text{et} \quad \begin{array}{l l c l}
g :& \R&\to &\R\\
&x &\longmapsto&g(x) = 6\left(x - \dfrac12\right)
\end{array}\]
\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f( -3),\: f\left(\dfrac25\right)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $g(0,5),\: g\left(- \sqrt 2\right)$.
		\item Sachant que $1,41 < \sqrt 2 < 1,42$, donner un encadrement de $g\left(- \sqrt 2\right)$.
	\end{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ les équations :
	\begin{enumerate}
		\item $f(x) =5$.
		\item $f(x) = g(x)$.
	\end{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ le système d'inéquations suivant:
\[\left\{\begin{array}{l c l}
f(x) &\leqslant& 0\\ 
g(x) &\leqslant& 0.
\end{array}\right.\]
\item Représenter graphiquement, dans le plan rapporté à un repère \Oij{} les
applications $f$ et $g$.
\item  Soit l'application $h$ définie par :
\[h(x) = [f(x)]^2 - [g(x)]^2.\]

	\begin{enumerate}
		\item Ecrire $h(x)$ sous la forme d'un produit de deux polynômes du premier
degré.
		\item Résoudre l'équation $h(x) = 0$.
		\item L'application $h : x \longmapsto h(x)$ est-elle bijective ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le plan est muni d'un repère \Oij.

B(1~;~6) et D$\left(- \dfrac52~;~\dfrac12\right)$ sont deux points de ce plan.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{BD}}$.
		\item Donner une équation de la droite (BD).
\end{enumerate}
\item Donner une équation de la droite $(d)$ définie par le point A(3~;~2) et le 
vecteur

$\vect{u} = \vect{\imath} + \vect{\jmath}$.
\item Le point C est l'intersection des droites (BD) et $(d)$.

Montrer que les coordonnées de C sont $(- 4~;~- 5)$.
\item Montrer que le triangle (A, B, C) est rectangle en A.
\item Le triangle (B, A, D) est-il équilatéral ?

Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\smallskip

\emph{Les questions $4$ et $5$ sont indépendantes des questions précédentes.}

\end{document}