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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1978}
\rfoot{\small Poitiers}
\lfoot{\small septembre 1978}
\pagestyle{fancy}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Poitiers septembre 1978 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

On considère les fonctions polynômes $f$ et $g$ définies dans $\R$ par :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
f(x) &=&4x^2 - 25 - (5x +3) (2x - 5),\\
g(x)&=&9x^2 - 12x + 4 + (3x - 2)(5 - x).
\end{array}\right.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $f(x)$ et $g(x)$ sous forme de polynômes réduits et ordonnés suivant
les puissances décroissantes de $x$.
\item Écrire $f(x)$ et $g(x)$ sous forme de produits de polynômes du premier
degré.
\item On considère la fonction rationnelle $h$ définie par:
\[f(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire son ensemble de definition.
		\item Simplifier l'écriture de $h(x)$.
		\item Donner l'écriture la plus simple des réels suivants s'ils existent : 
		\[h(- 3), \quad  h\left(\sqrt 2\right) :\]

pour ce dernier résultat l'écrire sous la forme $a + b\sqrt 2$ dans 
laquelle $a$ et $b$ sont des entiers,
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

Dans un plan muni d'un repère orthonormé \Oij{} placer les points A, B, C et  D tels que:
\[\vect{\text{OA}} = 2\vect{\imath} + 3\vect{\jmath}, \quad  \vect{\text{OB}} = 4\vect{\imath} - 3\vect{\jmath}, \quad \vect{\text{OC}} = 2\vect{\imath} - 5\vect{\jmath}, \quad \vect{\text{OD}} = 4\vect{\imath} + \vect{\jmath}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les coordonnées du milieu I de [AC] et les coordonnées du milieu I$'$ de [BD] ?
		
Que peut-on dire des points I et I$'$ ?
		\item Calculer les coordonnées des vecteurs  $\vect{\text{AC}}$ et $\vect{\text{BD}}$, puis calculer les distances $d$(A, C) et $d$(B, D).
		\item Montrer que les droites (AC) et (BD) sont orthogonales.
		\item Déduire des résultats précédents la nature du quadruplet (A, B, C, D).
	\end{enumerate}	
\item Calculer les coordonnées du point E tel que :
\[\vect{\text{OE}} = \dfrac52\vect{\text{OA}} + \frac72\vect{\text{OI}}.\]

\item Si G est le milieu de [AB] que peut-on dire du quadruplet (A, E, G, I) ?
\end{enumerate}
\end{document}