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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1980}
\rfoot{\small Poitiers}
\lfoot{\small septembre 1980}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Poitiers septembre 1980 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

Soit $f$ la fonction polynôme définie ci-dessous :
\[\begin{array}{l l c l}
f\::&\R&\to & \R\\
&x&\longmapsto&(3x + 2)(6x - 5) - 6x - 4 - \left(9x^2 - 4\right).
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$.
\item Montrer que $f(x)$ peut s'écrire sous la forme: 
\[f(x)= (3x + 2)(3x - 1).\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les images par $f$ des réels:
		\[\sqrt 3\:;\qquad - \dfrac23\:;\qquad \dfrac13.\]
		\item Utiliser les calculs ci-dessus pour répondre à la question : \og $f$ est-elle une bijection ? \fg ?
	\end{enumerate}
\item Soit la fonction polynôme
\[\begin{array}{l l c l}
g\:: 	&\R&\to		&\R\\
		&x 	&\longmapsto& - 12x + 4.
\end{array}\]

	\begin{enumerate}
		\item Résoudre, dans $\R$, l'équation: $f(x) = g(x)$.
		\item Résoudre, dans $\R$, l'inéquation: $g(x) \leqslant 0$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Dans un plan muni d'un repère \Oij, tracer les représentations graphiques des fonctions affines, de $\R$ dans $\R$, définies par
\[A(x) = 3x + 2 \qquad ; \qquad B(x) = 3x - 1.\]
		\item Résoudre, dans $\R$ l'équation : $A(x) = B(x)$.
		\item Retrouver graphiquement les résultats de la question précédente.
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

Dans un plan (P) muni d'un repère orthonormé
\Oij, on donne les points A, B et C dont les coordonnées dans ce repère sont
\begin{center}A$(-5~;~-2)$\:;\qquad  B$(-3~;~4)$\:; \qquad C(3~;~2).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}},\: \vect{\text{AC}}$ et $\vect{\text{BC}}$.
\item Calculer $d$(A, B), $d$(A, C) et $d$(B, C).

En déduire la nature du triangle (A, B, C).
\item Déterminer les coordonnées du point 0 tel que le quadruplet (A, B, D, C) définisse un parallélogramme.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le point E symétrique du point O dans la symétrie de centre C.
		\item Quelle est la nature du quadruplet (A, B,C, E) ?
	\end{enumerate}	
\item Soit le point F(9~;~0).
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les points B, C et F sont alignés.
		\item Soit $\alpha$ l'écart angulaire, en degrés, de l'angle géométrique 
$\widehat{\text{AFB}}$.

Calculer $\tan \alpha$. En déduire la valeur approchée, par défaut à un degré près, de v.
	\end{enumerate}
On donne l'extrait de table suivant:
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$\alpha$&$\sin \alpha$&$\tan \alpha$ &$\cos \alpha$\\ \hline
25 &0,4226&\np{0,4663}&\np{0,9063}\\ \hline
26 &0,4384&\np{0,4877}&\np{0,8988}\\ \hline
27 &0,4540&\np{0,5095}&\np{0,8910}\\ \hline
28 &0,4695&\np{0,5317}&\np{0,8829}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}