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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1986}
\rfoot{\small Poitiers}
\lfoot{\small septembre 1986}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Poitiers septembre 1986 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Activités numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Pour chacun des calculs suivants plusieurs réponses sont proposées ; entourer celle qui est exacte (attention aux réponses au hasard : 1 point en moins pour chaque mauvaise réponse).

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{2.}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|p{3cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$7x+x=$ 			&$8x^2$	&$7x$	&$8x$	&$7x^2 $\\ \hline
$2a+4a =$			&$6a$	&$8a^2$	&$6a^2$	&$8a$\\ \hline
$(3x)^2=$ 			&$3x^2$	&$9x^2$	&$9x$	&$6x$\\ \hline
$(4y+y)^2 =$ 		&$25y^2$&$5y^2$	&$10y$	&$17y^2$\\ \hline
$4x^3\times 3x^2 =$	&$7x^6$	&$12x^6$&$7x^5$	&$12x^5$\\ \hline
$(5a \times a)^2 =$	&$5a^4$	&$36a^2$&$25a^4$&$25a^2$\\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand\arraystretch{1}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Calculer et écrire le résultat sous forme de fraction irréductible :

\[\dfrac{10}{9} - \dfrac{14}{12}.\]

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Réduire \qquad $3\sqrt 3 - 7\sqrt 3 =$

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Développer puis réduire

\[\begin{array}{l c l}
(3x + 5)(2x - 3) &=&\\
(4x- 1)(4x+1) + 1&=&
\end{array}\]

\medskip

\textbf{Exercice 5}

\medskip

Factoriser : \qquad$81x^2 - 25$.

\medskip

\textbf{Exercice 6}

\medskip

L'unité de longueur choisie est le centimètre. 

ABCD est un carré ; on appelle $x$ la mesure de l'un de ses côtés.

On construit un nouveau carré AEFG en augmentant la longueur de chacun des côtés de ABCD de $11$~cm.

Le périmètre de AEFG est alors le triple du périmètre de ABCD.

Déterminer la mesure du côté du carré ABCD.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(5.6,5.6)
\psframe(0.4,0.2)(5.1,4.9)%GFEA
\psline(0.4,1.5)(3.8,1.5)(3.8,4.9)%DCB
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(0.4,5)(3.8,5)\uput[u](2.1,5){$x$}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(3.8,5)(5.1,5)\uput[u](4.45,5){$11$}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(0.2,4.9)(0.2,1.5)\uput[l](0.1,3.2){$x$}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(0.2,1.5)(0.2,0.2)\uput[l](0.2,0.85){$11$}
\uput[dr](0.4,4.9){A} \uput[dl](3.8,4.9){B} \uput[dr](3.8,1.5){C} \uput[dr](0.4,1.5){D}
\uput[r](5.1,4.9){E} \uput[dr](5.1,0.2){F} \uput[d](0.4,0.2){G}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\emph{Le candidat traitera au choix dans cette deuxième partie la
géométrie ou les statistiques.}

\bigskip

\textbf{Activités géométriques}

\medskip

\emph{Cet exercice comporte quatre questions indépendantes}

\medskip

\begin{enumerate}
\item A, B, C, sont trois points non alignés du plan. 

Construire le point E tel que $\vect{\text{CE}} = \vect{\text{AB}} + \vect{\text{AC}}$.

Construire le point F tel que $\vect{\text{AF}} = \vect{\text{AB}} - \vect{\text{BC}}$.

\item Construire un triangle CAP dont les côtés [CA], [CP] et [AP] ont pour mesures respectives $6$ cm, $8$~cm et $10$~cm (laisser les traces de construction).

Montrer que le triangle CAP est un triangle rectangle ; quelle
est la mesure, en degrés, de l'angle $\widehat{\text{ACP}}$ ?

Donner un encadrement, à un degré près de la mesure de
l'angle $\widehat{\text{CPA}}$

(on pourra utiliser une table de trigonométrie ou une calculatrice).

\item À partir du carré ABCD de côté 1, on a construit la figure ci-dessous.

Expliquer de quelle façon on a construit le point F.

Calculer AF{}.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-0.8,-0.2)(4.4,4.6)
\psframe(0,0)(3,3)%ADCB
\psarc(0,0){4.243}{0}{100}
\psline(0,4.243)(3.5,4.243)
\psline(0,3)(0,4.35)\psline(3,3)(3,4.35)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(3,3)
\uput[d](1.5,0){1}\uput[u](1.5,3){1}\uput[r](3,1.5){1}
\uput[dl](0,0){A} \uput[l](0,3){B} \uput[ur](3,3){C} \uput[r](3,0){D} \uput[ul](0,4.243){E} \uput[ur](3,4.243){F}
\end{pspicture}
\end{center}

\item BAC est un triangle ; J est le milieu du côté [AC], D est le point tel que BDAC est un parallélogramme.

On appelle I le centre du parallélogramme BDAC.

Écrire les données (ou hypothèses).

Montrer que les droites (IJ) et (BC) sont parallèles.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Statistiques}

\medskip

La répartition par tranches d'âge des \np{6700}~enfants accueillis dans la région, dans un centre de vacances, durant l'été 1984 est donnée par l'histogramme ci-dessous.

\begin{center}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.0035cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-2,-200)(22,3000)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=500,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(22,3000)
\psline[linestyle=dashed](0,200)(4,200)
\psline[linestyle=dashed](0,300)(12,300)
\psline[linestyle=dashed](0,1400)(6,1400)
\psline[linestyle=dashed](0,2800)(8,2800)
\psline[linestyle=dashed](0,2000)(10,2000)
\uput[u](20,0){âges (ans)}\uput[r](0,2950){effectifs (nombre d'enfants par tranche de 2 ans)}
\uput[l](0,200){200}\uput[l](0,300){300}\uput[l](0,1400){1400}\uput[l](0,2800){\np{2800}}
\psset{linewidth=1.5pt}
\psline(4,0)(4,200)(6,200)(6,0)
\psline(6,200)(6,1400)(8,1400)(8,0)
\psline(8,1400)(8,2800)(10,2800)(10,0)
\psline(10,2000)(12,2000)(12,0)
\psline(12,300)(18,300)(18,0)
\end{pspicture}
\end{center}

À l'aide du graphique ci-dessus, reproduire et compléter le tableau statistique :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Classes (âges)					&	&	&	&	&\\ \hline
Effectifs (nombre d'enfants)	&	&	&	&	&Total\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Pour cette série statistique, indiquer:

\begin{enumerate}
\item le nombre d'enfants accueillis ayant moins de 8 ans ;
\item le nombre d'enfants accueillis ayant au moins 12 ans ;
\item le pourcentage par rapport au total, des enfants accueillis ayant entre 8 et 12 ans (résultat à l'unité la plus proche).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

\begin{pspicture}(-1,-0.5)(13,0.5)
\psline[linewidth=1.25pt](-1,0)(13,0)
\multido{\n=-1+1}{15}{\psline(\n,-0.1)(\n,0.1)}
\uput[d](0,0){O}\uput[d](6,0){N}\uput[d](10,0){M}\uput[d](12,0){B}
\uput[u](1,0){5 km}\uput[u](6,0){30 km}\uput[u](10,0){50 km}\uput[u](12,0){60 km}
\end{pspicture}

\medskip

La figure ci-dessus représente, sur un tronçon de route en ligne droite, deux villes O et B distantes de $60$~km.

Un piéton partant de B se dirige vers O à une vitesse constante. Après deux heures de marche il se trouve en M.

Un cycliste partant de O se dirige vers B à la vitesse de 10 km par heure.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item 
		\begin{enumerate}
			\item Quelle est en kilomètres par heure la vitesse du piéton ? Après combien d'heures de marche arrive-t-il en O ?
			\item Quelle distance a-t-il parcourue après $x$ heures de marche? A quelle distance de O se trouve-t-il après $x$ heures de marche? A quel intervalle appartient le réel $x$ si le piéton s'arrête en O ?
		\end{enumerate}
		\item Combien d'heures mettra le cycliste pour atteindre B? A quelle distance de 0 se trouve-t-il après $x$ heures? A quel intervalle appartient $x$ si le cycliste s'arrête en B ?
	\end{enumerate}
\item La figure suivante représente un repère orthogonal.

Sur l'axe des abscisses 1 cm représente 1 heure et sur l'axe des ordonnées 1 cm représente $5$~km.

Le tronçon de route [OB] a été représenté sur l'axe des ordonnées. Vous devez compléter la figure à l'aide des indications qui vont suivre et la joindre à votre copie.

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-2,-6)(24,75)
\multido{\n=1+1}{24}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,75)}
\multido{\n=0+5}{16}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(24,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=50,Dy=100]{->}(0,0)(0,0)(24,75)
\uput[l](0,60){\footnotesize 60 km}
\uput[d](22,0){temps en heure}\uput[r](0,72){distance en kilomètre}
\uput[d](1,0){\footnotesize 1 h}\uput[l](0,5){\footnotesize 5 km}
\uput[r](0,60){B}\uput[dl](0,0){O}\psdots(0,0)(0,60)
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item 
		\begin{enumerate}
			\item Placer les points I(2~;~50), \: J(6~;~30) et K(3~;~30).
			\item Montrer que les points I, J, B sont alignés et trouver une
équation de la droite (IJ) et une équation de la droite (OK).
		\end{enumerate}
		\item 
		\begin{enumerate}
			\item La droite (IJ) coupe l'axe des abscisses en A.
			
Calculer les coordonnées de A et donner une interprétation de ces coordonnées.
			\item Placer sur la droite (OK) le point L ayant même ordonnée que B.
			
Quelle interprétation pouvez-vous donner de l'abscisse de L ?
		\end{enumerate}	
	\item Les droites (IJ) et (OK) se coupent en C.
	
Calculer le coordonnées de C et donner une interprétation des coordonnées de ce point.
	\end{enumerate}
\item Les réponses aux questions qui vont suivre devront être justifiées correctement.

On suppose que le cycliste et le piéton sont partis, respectivement de O et B, à $10$ heures.
	\begin{enumerate}
		\item Représenter sur la figure la distance qui sépare le cycliste du piéton à $12$ heures.
		\item Préciser graphiquement leurs positions à $12$ h $45$. 
		
Trouver alors par le calcul leurs positions exactes par rapport à O.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}