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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1987}
\rfoot{\small Poitiers}
\lfoot{\small septembre 1987}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Poitiers septembre 1987 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques }

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $\left(\sqrt 5\right)^2 ;\: \left(3\sqrt 5\right)^2; \left(3\sqrt 5 - 7\right)^2$.
\item Comparer $3\sqrt 5$ et 7.
\item $\left|3\sqrt 5 - 7\right|$ est-il égal à $3\sqrt 5 - 7$ ou $7- 3\sqrt 5$ ? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit $x$ un nombre réel ; la figure suivante représente un trapèze FGNE dans lequel:

\begin{center}FG $= x + 1$ ;\qquad  EN $= x + 6$ ;\qquad FH $= 2x - 1$.

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6.5,4.5)
\pspolygon(0.2,0.2)(1.7,3.5)(4.3,3.5)(6.2,0.2)%EFGN
\psline[linestyle=dashed](1.7,3.5)(1.7,0.2)%FH
\psframe(1.7,0.2)(1.9,0.4)
\uput[l](0.2,0.2){E} \uput[u](1.7,3.5){F} \uput[u](4.3,3.5){G} \uput[r](6.2,0.2){N} \uput[d](1.7,0.2){H}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Pourquoi x doit-il être plus grand que $\dfrac12$ ?
\item On rappelle que l'aire d'un trapèze est égale à la moitié
du produit de la hauteur par la somme des bases. 

Vérifier que l'aire du trapèze est égale à $2x^2 + 6x - \dfrac72$.
\item Calculer l'aire de ce trapèze pour $x = 3$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Résoudre le système suivant :

\[\left\{\begin{array}{r c r}
3x - 2y	&=&7\\
y		&=&2x- 5
\end{array}\right.\]

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques }

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit ABCD un rectangle tel que AB $= 6$~cm et AD $= 4 $~cm.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la mesure de la diagonale [AC]. Donner sa valeur exacte simplifiée et une valeur approchée à 1 mm près.
		\item Calculer la tangente de l'angle $\widehat{\text{ACD}}$ à $10^{-3}$ près par
défaut et déterminer un encadrement à 1 degré près de la mesure de l'angle $\widehat{\text{ACD}}$.
	\end{enumerate}
\item Ce rectangle ABCD est une face du pavé droit ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.6,4)
\psframe(0.2,0.2)(4.2,2.8)%NIBA
\psline(4.2,0.2)(5.3,0.8)(5.3,3.4)(4.2,2.8)%IECB
\psline(5.3,3.4)(1.3,3.4)(0.2,2.8)%CDA
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.3,0.8)(5.3,0.8)%NPE
\psline[linestyle=dashed](1.3,0.8)(1.3,3.4)%PD
\uput[l](0.2,2.8){A} \uput[r](4.2,2.8){B} \uput[u](5.3,3.4){C} \uput[u](1.3,3.4){D}
\uput[r](5.3,0.8){E} \uput[d](4.2,0.2){I} \uput[d](0.2,0.2){N} \uput[ur](1.3,0.8){P}
\end{pspicture}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Le volume de ce pavé droit est $84$ cm$^3$. Quelle est la
mesure en cm de [AN] ?
		\item Quelle est la nature du quadrilatère BCEI ?
		\item Trouver la mesure exacte de [BE].
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit l'application affine $g$ de $\R$ dans $\R$ telle que 

\[g(x) = 2x + 3.\]

 Déterminer l'ensemble des réels $x$ tels que $g(x) \leqslant 1$.
\item Dans la suite du problème, le plan est rapporté à un repère orthonormé \Oij.

L'unité est le centimètre.

Soit la droite $(d)$ d'équation $y = 2x + 3$ ; cette droite est la
représentation graphique de l'application $g$.
	\begin{enumerate}
		\item Les points A$(-1~;~1)$, N$\left(\dfrac32~;~\dfrac{17}{3}\right)$ et E(1~;~ 5) appartiennent- ils à la droite $(d)$ ? 
		
Tracer la droite $(d)$.
		\item Colorier la partie de la droite $(d)$, dont les points ont une ordonnée inférieure ou égale à 1.
		
Expliquer pourquoi cela vous permet de vérifier le résultat du 1.
	\end{enumerate}
\item Soit les points I(0~;~3) et C$\left(3~;~\dfrac32\right).$

Démontrer que I est le milieu de [AE] et que les vecteurs $\vect{\text{IA}}$ et $\vect{\text{IC}}$ sont orthogonaux.
\item Placer le point F symétrique de C par rapport au point I.

Quelle est la nature de FECA ? Pourquoi ?
\item Quelle est l'aire du quadrilatère FECA ?
\end{enumerate}
\end{document}