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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Diplôme national du brevet Collège}
\lfoot{\small{Poitiers}}
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\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Poitiers septembre 1990~\decofourright}}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill \hfill 12 points}

\medskip

\emph{Les trois exercices sont indépendants}

\medskip

\textbf{I -} On donne :

\[A = \dfrac23 - \dfrac35 + 1 \:; \quad  B =  \dfrac{12}{25} \times \dfrac{20}{9} \: ; \quad C = \dfrac83 : \dfrac52.\]

Prouver que $A, B, C$ sont des écritures différentes d'un même nombre.

\medskip

\textbf{II -} Les affirmations suivantes sont-elles  vraies ou fausses ? 

Justifier chaque fois la réponse.

\og $\sqrt 9$ est la moitié de $\sqrt{18}$ \fg{};

\smallskip

\og $\left(2\sqrt 3 - 1\right)\left(2\sqrt 3 + 1\right)$ est un nombre entier ;

\smallskip

\og Les nombres $\sqrt 8  + \sqrt{50}$ et $\sqrt{98}$ sont égaux \fg.

\medskip

\textbf{III -} On pose

\[E = (2x + 3) (x - 4) - (2x - 7) (2x + 3).\]

\begin{enumerate}
\item Factoriser $E$.
\item Montrer que

\[E = 9 + 3x- 2x^2\]
\item Résoudre l'équation

\[E = 0.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{I -} 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6.5,4)
%\psgrid
%\psarc(3.15,0.75){2.95}{-15}{180}
%\psarc(1.725,1.125){1.475}{-15}{180}
\psline(2.16,2.55)(3.14,0.76)
\pspolygon(0.3,1.5)(6,0)(4.1,3.6)%MSR
\uput[l](0.3,1.5){M} \uput[ul](2.16,2.55){T} \uput[u](4.1,3.6){R} \uput[dl](3.14,0.76){E} \uput[r](6,0){S} 
\uput[ul](1.3,2.1){$\sqrt 5$} \uput[dl](1.8,1.04){3} \uput[dl](4.4,0.4){2,4}
\rput{-60}(2.16,2.52){\psframe(0.2,0.2)}
\rput{30}(4.1,3.6){\psframe(-0.2,-0.2)}
\end{pspicture}
\end{center}

Les données de la figure ci-dessus sont :

\[\text{ME} = 3 \:;\quad  \text{ES} = 2,4 \:; \quad \text{MT} = \sqrt 5\] 

\[\widehat{\text{MTE}} = 90\degres \:;\quad  \widehat{\text{MRS}} = 90\degres.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que

\[\text{ET} = 2.\]
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\dfrac{\text{MT}}{\text{MR}} = \dfrac59$.
		\item Calculer MR et en déduire que  TR $= \dfrac{4\sqrt 5}{5}$.
	\end{enumerate}
\item Montrer que les tangentes des angles $\widehat{\text{EMT}}$ et $\widehat{\text{TER}}$ sont égales.

Déterminer une valeur approchée de leur mesure à 1 degré près.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{II -} Dans un repère orthonormal du plan, on donne les points :
\begin{center}
A$(2~;~- 1)$ ; B(4~;~3) et C$(-1~;~3)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Quelles sont les coordonnées du point I milieu de [AB] ?
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que CA $=$ CB.
		\item En déduire que la droite (CI) est la médiatrice de [AB].
	\end{enumerate}
\item  Soit M un point de coordonnées $(x~;~y)$ tels que $x$ et $y$ sont de nombres POSITIFS.

Colorier la partie du plan pour laquelle MA $< $MB.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME \hfill \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{I} Le plan est rapporté à un repère orthonormal. On prendra sur chacun des axes 1 cm comme unité.

Soit $\left(D_1\right)$ la droite d'équation $y = 9x$ et $\left(D_2\right)$ la droite d'équation $y = 10 - x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ dans le repère.
\item Calculer les coordonnées de leur point d'intersection.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{I} 

\begin{minipage}{0.58\linewidth}On considère un rectangle ABCD tel que, avec le centimètre pour unité :

AB $= 5$ et AD $= 2$.

Soit M un point du segment [OC].

On pose CM $= x$.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.37\linewidth}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(5.2,2.8)
\psframe(0.2,0.5)(5,2.5)%DCBA
\psline(5,2.5)(3.6,0.5)%BM
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(3.6,0.3)(5,0.3)\uput[d](4.3,0.3){$x$}
\uput[ul](0.2,2.5){A} \uput[ur](5,2.5){B} \uput[dr](5,0.5){C} \uput[dl](0.2,0.5){D} \uput[ul](3.6,0.5){M} 
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner un encadrement de $x$,
		\item Exprimer DM en fonction de $x$,
		\item Calculer en fonction de $x$, l'aire du triangle BCM. 
		
En déduire que l'aire du trapèze ABMD est égale à $10 - x$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour quelle valeur de $x$, l'aire du trapèze ABMD est-elle égale à neuf fois l'aire du triangle BCM ?
		\item En utilisant la partie I, retrouver graphiquement le résultat de la question 2 a.
	\end{enumerate}	
\item En utilisant la représentation graphique de la partie 1 et sans faire de calculs, répondre à la question suivante :

Pour quelles valeurs de $x$, l'aire du trapèze ABMD est-elle supérieure ou égale à neuf fois l'aire du triangle BCM ?

On justifiera correctement la réponse.
\item Dans cette question on prend M tel que $x = 1$.
	\begin{enumerate}
		\item Construire le rectangle ABCD en vraie grandeur et placer M. 
		\item Montrer que le triangle AMB est rectangle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}