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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1980}
\rfoot{\small Poitiers}
\lfoot{\small juin 1980}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Poitiers juin 1980 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Résoudre dans $\R$ les équations suivantes :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{x+3}{2} +  \dfrac{4x-3}{3} = 1 +  \dfrac{5x-12}{6}$ ;
\item $(2x +3)^2 - (2x + 5) = 4x(x + 4) + 4$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'application $f$ de $\R$ vers $\R$ telle que
\[f(x) = 4(x + 1)^2 -(3 - x)^2.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$.
\item Écrire $f(x)$ sous forme d'un produit de facteur du premier degré.
\item Calculer les images par $f$ des réels suivants:
\begin{center} 0\quad;\quad $-5$ \quad;\quad $\sqrt 2$\quad;\quad $\dfrac13$\end{center}

$f$ est-elle une bijection ?
\item Dans un plan muni d'un repère \Oij, construire les représentations graphiques des applications affines :

\begin{center}
\begin{tabular}{l l}
$\begin{array}{l l c l}
g_1 : &\R&\to&\R\\
&x &\longmapsto &3x - 1 \:;
\end{array}$&$\begin{array}{l l c l}
g_2 : &\R&\to&\R\\
&x &\longmapsto &x +5 \:;
\end{array}$
\end{tabular}
\end{center}

Déterminer graphiquement, puis par le calcul, le
coordonnées de leur point d'intersection.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Dans le plan euclidien, on donne le cercle $(C)$ de centre O et de rayon $R$.

Soit A et B les extrémités d'un diamètre du cercle $(C)$ et soit D un point de $(C)$ tel que 

$d$(A, D) $= R$.

On appelle I le milieu du segment [OD].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure soignée.
\item Montrer que la droite (AI) est la médiatrice du segment [OD].
\item Cette droite (AI) recoupe le cercle $(C)$ en E.

Montrer que $d$(E, D) = $d$(E, O).
\item Montrer que (A, D, E, O) définit un losange.
\item Montrer que $\vect{\text{DE}} = \vect{\text{OB}}$.

En déduire que $d$(E, B) $= R$.
\item Soit F le symétrique de E par rapport à O et G le symétrique de D dans cette même symétrie $S_{\text{O}}$.

 Montrer que $d$(B, G)= $d$(G, F) = $d$(F{}, A).
\end{enumerate}
\end{document}