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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1989}
\rfoot{\small Poitiers}
\lfoot{\small juin 1989}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Poitiers juin 1989 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Première partie}

\medskip

\emph{Les cinq questions sont indépendantes}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $A = 1- \dfrac23 \times \dfrac37$.
		
Le résultat sera donné sous forme d'une fraction irréductible.
		\item Calculer $B = \left(5 + \sqrt 3\right)^2$.
		
Le résultat sera donné sous la forme $a + b\sqrt 3$ où $a$ et $b$ sont des nombres entiers.
	\end{enumerate}
\item Prouver que $\dfrac13$ est solution de l'équation suivante:

\[2(y - 3) - 3\left(y -\dfrac59\right) = y - 5.\]

\item Développer 

\[C = (3x -5)(x - 3)^2 \]

\item Factoriser

\[ D = 4x^2- (x - 1)^2 \]
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre le système
		
\[\left\{\begin{array}{l c l}
5x+ 3y&=&\np{2414}\\
x+y&=&598.
\end{array}\right.\]
		\item Au mois de novembre, un employé a travaillé 25 jours et sa femme a travaillé 15 jours.Ils ont gagné à eux deux \np{12070}~francs.
		
Au mois de décembre, ils ont travaillé chacun $20$ jours et on
gagné à eux deux \np{11960}~francs.

On veut trouver combien chacun gagne par jour de travail.
	\begin{enumerate}
		\item Traduire cette situation par un système de deux équation
a deux inconnues.
		\item Montrer qu'en simplifiant l'écriture de ce système, on
obtient
\[\left\{\begin{array}{l c r}
5x + 3y &=& \np{2414}\\
x +y &=& 598.
\end{array}\right.\]
		\item En déduire combien chacun gagne par jour de travail.
			\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

\emph{Les deux exercices sont indépendants}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire un rectangle OABC tel que OA = 10 cm et OC = 4 cm.
		\item Placer le point M du segment [BC] tel que BM = 2 cm.
		.\item.Calculer AM et OM.
	\end{enumerate}	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le triangle OAM est-il rectangle ? Le prouver.
		\item Prouver que la tangente de l'angle $\widehat{\text{OAM}}$ est un nombre entier.
		\item Donner une mesure à un degré près de l'angle $\widehat{\text{OAM}}$.

\begin{center}
\emph{Extrait de tables trigonométriques}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Degrés& 62&63 &64 &65\\ \hline
Tangente&1,88 &1,96& 2,05& 2,14\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire un triangle MEF rectangle en E tel que EM $= 9$~cm et EF $= 3$~cm.
		\item Placer le point J du segment [ME] tel que MJ $= 6$~cm.
	\end{enumerate}	
\item La droite, passant par J, parallèle à la droite (EF) coupe le segment [MF] en K.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer JK.
		\item On appelle $S_1$ l'aire du triangle MEF et $S_2$ l'aire du triangle MJK.

Calculer le rapport $\dfrac{S_2}{S_1}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Troisième partie}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormé. L'unité de longueur est le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire la droite $(D)$ d'équation $y = 0,5x - 3$.
		\item Soit A le point de $(D)$ d'abscisse 4. Quelle est l'ordonnée de ce point ?
		\item La droite $(D)$ coupe l'axe des abscisses en B. Quelles sont les coordonnées de ce point?
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point C de coordonnées (2~;~3).
		\item Déterminer une équation de la droite (AC).
	\end{enumerate}	
\item Prouver que les droites $(D)$ et (AC) sont perpendiculaires.
\item Soit K le projeté orthogonal de C sur l'axe des abscisses.
	\begin{enumerate}
		\item Prouver que les quatre points A, B, C, K sont situés sur un même cercle.
		
Construire ce cercle en justifiant la construction.
		\item Calculer les coordonnées du centre et le rayon de ce cercle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}