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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1996}
\rfoot{\small Poitiers }
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Poitiers juin 1996 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On donne : 

\[A = \dfrac32 + \dfrac54 \times \dfrac{2}{15} ; \qquad B = \dfrac23 - \dfrac52 \left(\dfrac76 - \dfrac13\right).\]

Écrire $A$ et $B$ sous forme de fractions irréductibles en détaillant les calculs intermédiaires.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne l'expression $E = (x + 3)(2x - 3) - (2x - 3)^2$.

\medskip
\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$.
\item Factoriser $E$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Une régate, ou course de voiliers, est organisée à La Rochelle. Deux types de voiliers participent à la régate :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] les \og 420 \fg{} qui ont à bord deux personnes,
\item[$\bullet~~$] les \og optimists \fg{} qui sont manoeuvrés par une seule personne.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On compte au départ de la régate $48$ voiliers et $80$ personnes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Si $x$ est le nombre de \og 420 \fg{} au départ et $y$ le nombre d'\og optimists \fg, traduire les données par un système de 2 équations à 2 inconnues.
\item Quel est le nombre de voiliers de chaque catégorie ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

On a relevé la nationalité du vainqueur des 80 premiers Tours de France cyclistes [entre 1903 et 1993].

Le tableau ci-après donne le nombre de victoires par nationalité.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-6}
\multicolumn{1}{c|}{~}	&France	&Belgique	&Italie	&Espagne&Autres\\ \hline
Nombre de victoires		&36		&18			&8		&6		&12\\ \hline
Fréquences en \%		&		&			&		&		&\\ \hline
\end{tabularx}

\end{center} 
 
\begin{enumerate}
\item Reproduire le tableau sur la copie et calculer les fréquences en pourcentage.
\item Construire un diagramme semi-circulaire représentant cette situation (on prendra 5 cm pour rayon du cercle). 

On justifiera correctement le calcul des angles.
\item L’espagnol Miguel Indurain a gagné l'épreuve en 1994 et 1995.

Calculer le pourcentage de victoires espagnoles depuis la création du Tour de France.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit un triangle ABC rectangle en A tel que :

AB $= 4,5$ cm et BC $= 7,5$ cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire ce triangle et justifier brièvement la construction.
\item On considère le point D du segment [BC] tel que BD $= \dfrac23$ BC et le
point E du segment [AB] tel que BE $= 3$ cm.

Démontrer que les droites (DE) et (CA) sont parallèles.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du triangle BED ? Justifier votre réponse.
		\item Soit $\mathcal{A}_1$ l'aire du triangle ABC et $\mathcal{A}_2$ l'aire du triangle BED. 
		
Démontrer que $9\mathcal{A}_2 = 4\mathcal{A}_1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{minipage}{0.51\linewidth}
La figure ci-contre représente un cube ABCDEFGH sur lequel on a posé une pyramide régulière de base ABCD et de hauteur MK.

L’arête du cube mesure 6 cm. %fig

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question on pose MK $= x$. 

Calculer $x$ sachant que le volume du cube et de la pyramide réunis est 270 cm$^3$.
\item Dans cette question on donne MK~$=~4,5$~cm.
	\begin{enumerate}
		\item Dessiner en vraie grandeur le carré ABCD.
		\item Utiliser la figure précédente pour construire en vraie grandeur le triangle CMA et justifier votre construction.
		\item Démontrer que $\tan \widehat{\text{MCA}} = \dfrac34 \sqrt 2$. 
		
En déduire la mesure, arrondie au degré, de l’angle $\widehat{\text{MCA}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,9.4)
\psframe(0.2,0.2)(4.5,4.5)%GFBC
\psline(4.5,0.2)(6.2,1.8)(6.2,6.1)(4.5,4.5)%FEAB
\psline(3.2,8.7)(0.2,4.5)(4.5,4.5)(3.2,8.7)(6.2,6.1)%MCBMA
\pspolygon[linestyle=dashed](0.2,4.5)(1.9,6.1)(6.2,6.1)%CDA
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.9,1.8)(6.2,1.8)%GHE
\psline[linestyle=dashed](1.9,1.8)(1.9,6.1)%HD
\psline[linestyle=dashed](4.5,4.5)(1.9,6.1)(3.2,8.7)(3.2,5.3)%BDMK
\uput[r](6.2,6.1){A} \uput[dr](4.5,4.5){B} \uput[l](0.2,4.5){C} \uput[ur](1.9,6.1){D}
\uput[r](6.2,1.8){E} \uput[dr](4.5,0.2){F} \uput[dl](0.2,0.2){G} \uput[l](1.9,1.8){H}
\uput[d](3.2,5.3){K} \uput[u](3.2,8.7){M}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O, I, J).

On choisit le centimètre pour unité sur les deux axes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points B(2~;~4) et D$(-4~;~2)$.
		\item Donner, par lecture graphique, les coefficients directeurs respectifs des droites (OB) et (OD).
		\item Démontrer que OB = OD $= 2 \sqrt 5$.
		\item Quelle est la nature du triangle DOB ?
	\end{enumerate}	
\item On projette orthogonalement B en A sur l'axe des abscisses et en C sur l'axe des ordonnées.

De même, E et F sont les projetés orthogonaux de D respectivement sur l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées.
	\begin{enumerate}
		\item Par lecture graphique, donner les coordonnées de A, C, E et F{}.
	
		\item Déterminer par le calcul l'équation de la droite (AF).
		\item Pourquoi la droite (EC) a-t-elle pour équation $y = x + 4$ ?
		\item En déduire que les droites (EC) et (AF) sont perpendiculaires.
	\end{enumerate}
\item Les droites (EC) et (AF) se coupent en K.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées de K.
		\item Démontrer que K est le milieu de [DB].
		\item Quelle est la mesure exacte de l'angle $\widehat{\text{CEO}}$ ? Justifier votre réponse.
		\item En déduire que le triangle EKA est rectangle et isocèle.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que les points D, E, O, F{}, K appartiennent à un même cercle dont on précisera les coordonnées du centre et la mesure en centimètres du rayon.
\item On considère la rotation de centre O qui transforme I en J.

Quelle est dans cette rotation l'image du rectangle OABC ? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}
\end{document}