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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small juin 1997}
\lfoot{\small Poitiers}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Poitiers juin 1997 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On donne les nombres :

\[A =\left(\dfrac56\right)^2 - \dfrac23 ;\quad B = \left(\dfrac56 - \dfrac23\right)^2 ;\quad C = \left(3 - \sqrt 5\right)^2 - 2\left(1 - \sqrt{45}\right).\]

En écrivant les différentes étapes des calculs : 

\begin{enumerate}
\item Prouver que $A = B$.
\item Prouver que $C$ est un nombre entier.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne l'expression : $E = (3x- 2)^2 + 6(3x- 2)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$.
\item Factoriser $E$.
\item Calculer $E$ pour $x = - \dfrac43$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
Description de la figure ci-contre :

$\bullet~~$ABCD est un rectangle tel que : 

AD = BC = 3 cm ;

$\bullet~~$M est un point du segment [AB] tel que :

AM $= x$ avec $0< x < 6$ et $x$ exprimé en cm ;

$\bullet~~$E est le point du segment [CB] tel que 

CE $= 2$ cm.

\medskip

On note R$_1$ le rectangle AMGD et R$_2$ le rectangle FECG.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\psset{unit=1.25cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(5.3,3)
%\psgrid
\psframe(1.1,0.6)(4.1,2.2)%ABCD
\psline(2.4,0.6)(2.4,2.2)%MG
\psline(2.4,1.1)(4.1,1.1)%FE
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(1.1,2.4)(4.1,2.4)\uput[u](2.6,2.4){\small 6 cm}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(4.4,1.1)(4.4,2.2)\uput[r](4.4,1.65){\small 2 cm}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.8,0.6)(0.8,2.2)\uput[l](0.8,1.4){\small 3 cm}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(1.1,0.4)(2.4,0.4)\uput[d](1.75,0.4){\small $x$}
\uput[ul](1.1,2.2){D} \uput[dl](2.4,2.2){G} \uput[ur](4.1,2.2){C}\rput(1.75,1.4){R$_1$}
\uput[dr](2.4,1.1){F} \rput(3.15,1.4){R$_2$} \uput[dr](4.1,1.1){E}
\uput[dl](1.1,0.6){A} \uput[dr](2.4,0.6){M} \uput[dr](4.1,0.6){B}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item $P_1$ et $P_2$ sont les périmètres des rectangles R$_1$ et R$_2$, exprimés en cm.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P_1$ et $P_2$ en fonction de $x$.
		\item Pour quelle valeur de x les périmètres $P_1$ et $P_2$ sont-ils égaux
	\end{enumerate}
?
\item $S_1$ et $S_2$ sont les aires des rectangles R$_1$ et R$_2$exprimées en cm$^2$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $S_1$ et $S_2$ en fonction de $x$.
		\item Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on : $S_2 < S_1$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Un cube a des arêtes de 8 cm. 

Un cône de révolution a une base de 8 cm de diamètre et une hauteur de 8 cm.

\medskip

\begin{minipage}{0.53\linewidth}
\begin{enumerate}
\item Calculer le volume du cube.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte du volume du cône.
		\item Quel est le volume du cône arrondi au cm$^3$ ? Justifier votre réponse.
	\end{enumerate}
\item On place le cône à l'intérieur du cube. Occupe-t-il plus de 30\,\% du volume du cube ?
\end{enumerate}

\medskip

\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(4.4,2.6)
%\psgrid
\psframe(0,0.5)(1.5,2)
\psline(1.5,0.5)(2.2,0.9)(2.2,2.4)(1.5,2)
\psline(2.2,2.4)(0.7,2.4)(0,2)
\psline[linestyle=dashed](0,0.5)(0.7,0.9)(2.2,0.9)
\psline[linestyle=dashed](0.7,0.9)(0.7,2.4)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0,0.3)(1.5,0.3)\uput[d](0.75,0.3){8 cm}
%%%%%
\psellipticarc(3.6,0.7)(0.75,0.25){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](3.6,0.7)(0.75,0.25){0}{180}
\psline[linestyle=dashed](2.85,0.7)(4.35,0.7)
\psline[linestyle=dashed](3.6,0.7)(3.6,2.2)
\psline(2.85,0.7)(3.6,2.2)(4.35,0.7)
\uput[l](3.6,1.45){\scriptsize 8 cm}\uput[d](3.6,0.5){\scriptsize 8 cm}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

ABCD désigne un rectangle tel que AB $= 7,2$ cm et BC $= 5,4$ cm. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dessiner en grandeur réelle ce rectangle et sa diagonale [AC].
\item Calculer la mesure arrondie au degré de l'angle $\widehat{\text{ACD}}$.
\item Démontrer que les angles $\widehat{\text{ACD}}$ et $\widehat{\text{CAB}}$ sont égaux.
\item La médiatrice du segment [AC] coupe la droite (AB) en E. 

Placer le point E et montrer que le triangle ACE est isocèle.
\item En déduire une valeur approchée de la mesure de l'angle $\widehat{\text{DCE}}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{center}\psset{unit=1.25cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(5.4,2.5)
%\psgrid
\pspolygon(0.2,0.6)(4.7,0.6)(3.5,2)%ABI
\psline(2.5,1.6)(3.2,0.6)%JC
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.2,0.3)(3.2,0.3)\uput[u](1.7,0.25){\footnotesize 4,9 cm}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.2,0)(4.7,0)\uput[u](2.45,-0.5){\footnotesize 7 cm}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(3.8,2.2)(4.96,0.78)\uput[ur](4.3,1.5){\footnotesize 3 cm}
\uput[l](0.2,0.6){A} \uput[dr](3.2,0.6){C} \uput[dr](4.7,0.6){B} \uput[ul](2.5,1.6){J} \uput[ul](3.5,2){I}
\end{pspicture}
\end{center}

Sur la figure ci-dessus :

 AB $= 7$ cm ; AC $= 4,9$ cm ; IB $= 3$ cm.
 
Les droites (JC) et (IB) sont parallèles.

Démontrer que le triangle JCB est isocèle.

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dans un repère orthonormal (O, I, J) d'unité 1 cm sur chaque axe, placer les points :

\begin{center}A$(-4~;~- 1)$ ;\quad B(5~;~2) ;\quad  S$(4~;~-5)$ ;\quad  C$(-1~;~0)$.\end{center}
		\item Déterminer une équation de la droite (AB) et vérifier que le point C appartient à la droite (AB).
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la droite $(\Delta)$ d'équation $y = 3x - 7$.
		\item Montrer que le point S appartient à la droite $(\Delta)$.
		\item Calculer les coordonnées du point H intersection des droites (AB) et $(\Delta)$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que (SH) est une hauteur du triangle SAB.
		\item Calculer les valeurs exactes de SH et AB.
		\item Montrer que l'aire, en cm$^2$, du triangle SAB est un nombre entier.
	\end{enumerate}
\item (C) désigne le cercle de diamètre [BS].
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées de son centre K.
		\item Démontrer que H est un point du cercle (C).
		\item Le cercle (C) coupe la droite (AS) en S et en M. 
		
		Démontrer que : AB $\times$ HS = BM $\times$ AS.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}