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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1998}
\rfoot{\small  Poitiers}
\lfoot{\small juin 1998}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Poitiers juin 1998 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer successivement $ab,\, b,\, b^2$ dans chacun des cas suivants :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $a = \dfrac{1}{3} \,;\, b = - 5$.

On donnera chacun des résultats sous la forme d'une fraction simplifiée.
\item $a = 3 \times 10^4$ ; $b = 10^3$.

On donnera chacun des résultats en écriture scientifique.
\item $a = 2\sqrt{12}$ ; $ b = - 3\sqrt3$.

Montrer que les résultats s'écrivent sans racine carrée.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser :
	\begin{enumerate}
		\item $9 - 12x + 4x^2$
		\item $(3 - 2x)^2 - 4$
	\end{enumerate}
\item En déduire une factorisation de : $E = \left(9 - 12x + 4x^2\right) - 4$.
\item Résoudre l'équation : $(1 - 2x)(5 - 2x) = 0$.
\item Montrer que pour $x = \dfrac32,\, E$ est un entier.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\og Devant moi, à la solderie, une personne a acheté 4 draps de bain et 5 gants de toilette. Elle a payé seulement 110 F, alors j'ai pris ce qui restait : 6 draps de bain et 4 gants de toilette; mais je pense qu'il y une erreur car j'ai payé 172 F \fg, dit une dame.

\medskip

\begin{enumerate}
\item En appelant $x$ le prix d'un drap de bain et $y$ le prix d'un gant de toilette, traduire cette situation par un système de 2 équations à 2 inconnues.
\item Résoudre ce système.
\item La dame a-t-elle raison de penser qu'il y a une erreur ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Un pigeonnier d'une hauteur totale de $15$~mètres est formé d'une tour cylindrique de rayon $6$~mètres, surmontée d'un toit conique.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la hauteur de la tour, sachant qu'elle est égale aux deux tiers de la hauteur totale ?
\item Trouver la valeur exacte de l'aire de la surface latérale de la tour cylindrique.
\item Quel est le volume total du pigeonnier ? Donner la valeur exacte, puis une valeur approchée au mètre cube près.
\end{enumerate}

%fig
\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

%\begin{minipage}{0.68\linewidth}
\parbox{0.7\linewidth}{
Dans cet exercice, l'unité de longueur est le centimètre et la figure ci- dessous ne respecte pas les données de longueurs.

ABC est un triangle tel que AB = 8, AC = 10. On pose : BC = a.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le point E sur le Segment [AC] est tel que AE = 6.
La parallèle à la droite (BC) passant par E coupe la droite (AB) en F.

La parallèle à la droite (AB) passant par E coupe la droite (BC) en H.

Calculer EH.

Exprimer CH en fonction de $a$ et montrer que CH $= \dfrac25a$.
\end{enumerate}}
%\end{minipage} 
\hfill
\parbox{0.28\linewidth}{
%\begin{minipage}{0.28\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(3.5,3.5)
%\psgrid
\pspolygon(2.5,0.3)(3.2,3.3)(0.3,3.3)%CBA
\psline(0.9,1.4)(3.4,1.4)%EH
\psline(1.6,1)(2.2,3.6)%EF
\uput[l](0.3,3.3){A} \uput[ur](3.2,3.3){B} \uput[d](2.5,0.3){C}
\uput[ur](1.68,1.4){E} \uput[ul](2.16,3.3){F} \uput[dr](2.78,1.4){H}
\end{pspicture}}
%\end{minipage}
\begin{enumerate}%[resume]
\setcounter{enumi}{1}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du quadrilatère EHBF?
Justifier la réponse.
		\item En déduire BF. Exprimer BH en fonction de $a$.
	\end{enumerate}
\item Calculer la valeur de $a$ pour que EHBF soit un losange.
\item Calculer la valeur de $a$ pour que EHBF soit un rectangle.

Donner dans ce cas une valeur approchée à un degré près de l'angle
$\widehat{\text{BCA}}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{QUESTIONS ENCHAÎNÉS}

\medskip

Toutes les réponses devront être justifiées.

(O, I, J) est un repère orthonormal où OI = OJ = 1 cm.

On effectuera la figure sur une feuille de papier millimétré.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A(4~;~2) et B$(-2~;~-2)$.

Calculer les coordonnées du point M milieu du segment [GAI.
\item Déterminer une équation de la droite (OA). 

On appelle $(\Delta)$ la médiatrice du segment [OA]. Montrer que $(\Delta)$ a pour équation $y = -2x + 5$.
\item Tracer la droite $\left(d_1\right)$ d'équation $y = - x + 4$.

On appelle $\left(d_2\right)$ la droite parallèle à $\left(d_1\right)$ qui passe par le point O.

Déterminer une équation de $\left(d_2\right)$.
\item On appelle P le point d'intersection des droites $(\Delta)$ et $\left(d_1\right)$.
Pourquoi a-t-on : PO = PA ?
\item Calculer les coordonnées du point P.
Quelle est la nature du triangle OAP ?
\item On appelle E l'image du point P par la translation de vecteur $\vect{\text{OB}}$. 

Placer le point E dans le repère.

Calculer les coordonnées de E.

Vérifier par le calcul que E est un point de $\left(d_2\right)$.
\item Pourquoi a-t-on : BE = AP ?
\end{enumerate}
\end{document}