\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet},
pdftitle = {Poitiers juin 1999},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small L'année 1999}
\rfoot{\small Poitiers}
\lfoot{\small juin 1999}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet  Poitiers juin 1999 \decofourright}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\[A =  \dfrac{12}{15}  - \dfrac{8}{15} : \dfrac{16}{9}\quad \text{et} \quad 
B = \left(3\sqrt{2} - 4\right)\left(3\sqrt{2} + 4\right)\]

Calculer les nombres $A$ et $B$ et vérifier qu’ils sont inverses l'un de l'autre.

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre.

\begin{minipage}{0.52\linewidth}
Sur la figure ci-contre, ABCD est un rectangle.

E est le point du segment [AB] tel que AE $= 8$ ;
 F est le point du segment [AD] tel que DF $= 6$ ;
$x$ est un nombre positif.

On pose EB $= x$ et on donne AF $= 2x$.

La parallèle au côté [AD] passant par E coupe le côté [CD] en G. 

La parallèle au côté [AB] passant par F coupe le côté [BC] en H. 

Les droites (EG) et (FH) se coupent en I.\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.44\linewidth}
\psset{unit=0.9cm,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture}(7,7)
\psframe(0.5,0.5)(6.5,6.5)%ABCD
\psline(5.5,0)(5.5,6.5)%GE
\psline(0,3.5)(6.5,3.5)%FH
\uput[ul](0.5,6.5){A} \uput[ur](6.5,6.5){B} \uput[dr](6.5,0.5){C} \uput[dl](0.5,0.5){D}
\uput[u](5.5,6.5){E} \uput[l](0,3.5){F} \uput[d](5.5,0){G} \uput[r](6.5,3.5){H}
\uput[ur](5.5,3.5){I}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(0.25,6.5)(0.25,3.5)\uput[l](0.25,5){$2x$}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(0.25,3.5)(0.25,0.5)\uput[l](0.25,2){6}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(0.5,0.25)(5.5,0.25)\uput[d](3,0.25){8}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(5.5,0.25)(6.5,0.25)\uput[d](6,0.25){$x$}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour quelle valeur de $x$ le rectangle ABCD est-il un carré?
\item Pour quelle valeur de $x$ les rectangles DFIG et IEBH ont-ils même aire ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

À l'entrée d'une ville, un panneau lumineux (tableau ci-dessous) donne la capacité des quatre parcs de stationnement payant de la ville et le nombre de places disponibles pour chacun d'eux

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|p{1cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&Capacité&Places disponibles\\ \hline
P$_1$& 500&125\\ \hline
P$_2$& 850&136\\ \hline
P$_3$& 340&102\\ \hline
P$_4$& 310&124\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que le parc P$_1$ a un taux d'occupation de 75\,\%.
\item Classer ces quatre parcs de stationnement dans l'ordre décroissant de leurs taux d'occupation.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\emph{Le plan est rapporté à un repère orthonormal. L'unité graphique est le centimètre.}

\medskip

On considère les points A$(2~;~-4)$ et B$(-2~;~8)$.

Faire une figure que l'on complétera au fur et à mesure de l'exercice.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la droite (AB) a pour équation $y = -3x + 2$.
\item On considère la droite (D) d'équation $y = \dfrac13 x + 2$.

Construire la droite (D).

Les droites (D) et (AB) sont-elles perpendiculaires ? Justifier la réponse.
\item Calculer les coordonnées du point R, point d'intersection des droites (D) et (AB) et démontrer que R est le milieu du segment [AB].
\item Que représente la droite (D) pour le segment [AB] ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

La figure ci-après, que l'on ne demande pas de reproduire, représente un rectangle ABCD de centre O et le point E symétrique de O par rapport à C.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture}(7.5,5)
\psframe(0.5,1.5)(4.5,4.5)%ABCD
\uput[ul](0.5,4.5){A} \uput[ur](4.5,4.5){B} \uput[d](4.5,1.5){C} \uput[dl](0.5,1.5){D} \uput[dr](6.5,0){E}
\uput[d](2.5,3){O}
\psline(0.5,4.5)(6.5,0)%AE
\psline(0.5,1.5)(4.5,4.5)%DB
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la rotation de centre O qui transforme B en C. 

Quelle est l'image de D par cette rotation ? (On ne demande pas de justifier.)
\item Parmi les affirmations suivantes, recopier celles qui sont vraies (on ne demande pas de justification).

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.9}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$\vect{\text{OA}} = \vect{\text{OC}}$& $\vect{\text{OC}} = \vect{\text{OE}}$& OA = CE\\ \hline
$\vect{\text{BE}} = \vect{\text{BO}} + \vect{\text{OE}}$& $\vect{\text{AB}} + \vect{\text{AC}} = \vect{\text{BC}}$& $\vect{\text{AB}} + \vect{\text{AD}} = \vect{\text{AC}}$\\ \hline
\multicolumn{3}{|c|}{D est l'image de C par la translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$}\\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand\arraystretch{1}
\end{center}


\item On considère le point F tel que $\vect{\text{OF}} = \vect{\text{BE}}$.

Démontrer que C est le milieu du segment [BF].
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\bigskip

\begin{minipage}{0.6\linewidth}

L'unité de longueur est le centimètre.

La figure ci-contre représente un trapèze rectangle ABCD. 

On donne :

AB = 3, AD = 4, CD = 5 ;

Les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

Les droites (AC) et (BD) se coupent en O.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.32\linewidth}
\psset{unit=0.9cm,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture}(4.5,4)
\pspolygon(0,0)(4.5,0)(2.6,3.5)(0,3.5)%DCBA
\uput[dl](0,0){D} \uput[dr](4.5,0){C} \uput[ur](2.6,3.5){B} \uput[ul](0,3.5){A}
\psframe(0,0)(0.25,0.25)\psframe(0,3.5)(0.25,3.25)
\uput[u](1.3,3.5){3}\uput[l](0,1.75){4}\uput[d](2.25,0){5}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Reproduire la figure en vraie grandeur.

On pourra commencer la construction au centre d'une feuille de papier millimétré et la compléter au fur et à mesure du problème.
\item Démontrer que le triangle BCD est isocèle.
\item Montrer que l'aire en centimètres carrés du trapèze ABCD est égale à $16$.

On rappelle que l'aire d'un trapèze de bases $B$ et $b$, de hauteur correspondante $h$, est égale à $\dfrac{1}{2} (B + b) \times h$.

\item Montrer que $\dfrac{\text{OA}}{\text{OC}} = \dfrac{\text{OB}}{\text{OD}}$.
\item Les droites (AD) et (BC) se coupent en S. Placer le point S.

Démontrer que les angles $\widehat{\text{CBD}}$ et $\widehat{\text{ABS}}$ ont même mesure.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En posant SA $= x$, démontrer que : $\dfrac{x}{x + 4} = \dfrac35$.
		\item En déduire la distance SA.
	\end{enumerate}
\item Déterminer la valeur arrondie à un degré près de la mesure de
 l'angle $\widehat{\text{ASB}}$.
\item Construire le point B$'$, symétrique du point B par rapport à la droite (AD).

Construire le point S$'$, image du point B' par la translation de
vecteur $\vect{\text{BA}}$.
\item Tracer le segment [S$'$D].
\end{enumerate}

On considère maintenant la figure comme une partie d'un patron de la pyramide de base ABCD, de sommet S et de hauteur [SA]. 

Terminer le patron de cette pyramide en prenant soin de coder sur la figure les segments de même longueur et en admettant que la face SDC est un triangle rectangle en D..
\begin{enumerate}[resume]
\item Calculer le volume de cette pyramide.
\end{enumerate}
\end{document}


Sur la figure ci-contre, $ABCD$ est un rectangle; $E$
est le point du segment $[AB]$ tel que $AE=8$ ; $F$ est le point du
segment $[AD]$ tel que $DF=6$.\par On pose $EB=x$ ($x$ est un nombre
positif) et on donne $AF=2x$.\par La parallèle au côté $[AD]$ passant
par $E$ coupe le côté $[CD]$ en $G$. La parallèle au côté $[AB]$
passant par $F$ coupe le côté $[BC]$ en $H$. Les droites $(EG)$ et
$(FH)$ se coupent en $I$.}
\begin{enumerate}
\item Pour quelle valeur de $x$ le rectangle $ABCD$ est-il un carré?
\item Pour quelle valeur de $x$ les rectangles $DFIG$ et $IEBH$
ont-ils même aire ?
\end{enumerate}
