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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Poitiers}}
\rfoot{\small{juin 1953}}
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\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~B. É. P{}. Poitiers septembre 1953~\decofourright
}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On considère:

une droite $D_1$ d'équation $y = - x + 4$ ;\\
une droite $D_2$ d'équation $y = x + 4$ ;\\
une droite $D_3$ d'équation $y = 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire ces trois droites.

$D_1$ et $D_2$ se rencontrent en A, $D_2$ et $D_3$ en B, $D_1$ et $D_3$ en C.

Déterminer les coordonnées des trois sommets du triangle ABC.
\item Calculer la longueur des trois côtés de ce triangle.

Montrer qu'il est rectangle isocèle.

Calculer son aire.
\item $D_1$ coupant l'axe $x'x$ en E et $D_2$ coupant l'axe $x'x$ en F, évaluer le rapport des aires des deux triangles ABC et AFE.

En déduire l'aire du triangle AFE.

On prendracomme unité de longueur le centimètrem.

\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soit un cercle de centre O et de rayon $R$.

D'un point I extérieur au cercle et situé à la distance $d$ du centre du cercle, on mène une sécante variable qui coupe le cercle en A et B (A entre I et B).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le produit IA $\times $IB est constant.

On l'exprimera en fonction de $d$ et $R$.
\item Sur quelle ligne se déplace le milieu M de [AB] lorsque la sécante tourne autour de I ?

On limitera cette ligne avec précision.
\item Montrer que le rapport des aires des triangles OBA et OAI s'exprime par le rapport des longueurs des deux segments [AB] et [AI].
\item Construire la sécante dans le cas où [AB] est
mesuré par la longueur $2\ell$ (on déterminera la distance du centre du cercle à la corde à l'aide de $R$ et $\ell$).
\end{enumerate}
\end{document}