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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Poitiers}}
\rfoot{\small{septembre 1954}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Poitiers\:septembre 1954}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip



%\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système d'équations
\[\left\{\begin{array}{l c l}
2x - 4y&-&7,\\
3x + \phantom{4}y&=&m.
\end{array}\right.\]

où $x$ et $y$ désignent deux nombres inconnus et $m$ un nombre algébrique supposé connu.
\item À quelles conditions doit satisfaire le nombre $m$ pour que, dans la solution précédemment trouvée, le nombre $x$ soit positif et le nombre $y$ négatif ?
\item Chacune des deux équations du système proposé définit $y$ comme une fonction du premier degré de $x$.

Tracer sur un même graphique les deux droites $(L)$ et $(P)$ représentant respectivement la première et la deuxième de ces fonctions.

On choisira le centimètre comme unité de longueur sur les deux axes et l'on tracera effectivement la droite $(P)$ correspondant à la valeur $m= 3$.
\item Quelle particularité présentent les droites $(P)$ correspondant à différentes valeurs de $m$ ?

Expliquer comment on peut en profiter pour retrouver sur le graphique les résultats de la question 2.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On donne deux cercles, de centres O et I, tangents extérieurement en M et l'on trace, d'une part, la tangente commune intérieure [MT], d'autre part, une tangente commune extérieure qui touche respectivement en A et B les cercles de centres O et I.

Les droites (MT) et (AB) se coupent en P{}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que PA = PM = PB et en déduire que le triangle MAB est rectangle en M.
\item La droite indéfinie (AM) recoupe le cercle de centre I en C et la droite indéfinie BM recoupe le cercle de centre O en D.

Montrer que (AD) et (BC) sont respectivement des diamètres des cercles de centres O et I et préciser complètement la nature du quadrilatère ABCD.
\item Établir la relation 
\begin{center}$\overline{\text{AB}}^2 =$ AD $\times$ BC.\end{center}

Calculer les longueurs des côtés et l'aire du quadrilatère ABCD correspondant à deux cercles de centres O et I  dont les diamètres valent respectivement $4$~cm et $9$~cm.
\end{enumerate}
\end{document}