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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1979}
\rfoot{\small Poitiers}
\lfoot{\small septembre 1979}
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\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Poitiers septembre 1979 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\section{ALGÈBRE}

\medskip

\textbf{Problème I}

\medskip

On considère les applications $f, g$ et $h$ de $\R$ dans $\R$ définies par

\[\left\{\begin{array}{l c l}
f(x) &=&- 2x + 4,\\
g(x) &=& \dfrac13 x - 3,\\
h(x) &=& x^2.
\end{array}\right.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f\left(- \dfrac13\right),\:g(2),\:h\left(\sqrt 2 - 1 \right)$.
		\item Sachant que $1,414 < \sqrt 2 < 1,415$, donner un encadrement à 0,01 près de $h\left(\sqrt 2 - 1 \right)$.
	\end{enumerate}
cRésoudre dans $\R$ les équations suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item $f(x) = g(x)$ ;
		\item $h(x) + f(x) = 2x$
		\item $|f(x)| = 5$ ;
	\end{enumerate}
$|f(x)|$ signifie valeur absolue de $f(x)$).
\item Écrire sous forme d'un polynôme réduit et ordonné, $(f \circ h)(x)$.
\item Résoudre, dans $\R$, les inéquations suivantes
	\begin{enumerate}
		\item $f(x) > 0$
		\item $g(x) > f(x)$.
	\end{enumerate}
On donnera chaque ensemble de solutions sous la forme d'un intervalle de $\R$.
\item Dans le plan (P) muni d'un repère orthonormé \Oij, tracer les représentations
graphiques des fonctions affines $f$ et $g$.

Retrouver graphiquement les résultats du \textbf{2. a}.
\end{enumerate}

\medskip

\section{GÉOMÉTRIE}

\textbf{Problème II}

\medskip

\emph{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A.}

Dans un plan muni d'un repère orthonormé \Oij placer les points :

\begin{center}A$(-2~;~-1)$
, \quad B(2~;~2) \quad et \quad C$(5~;~-2)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les distances AB, BC et AC.

En déduire la nature du triangle (ABC).
\item Calculer les coordonnées du point D tel que (A, B, C, D) soit un parallélogramme
\item Preciser la nature du parallélogramme (A, B, C, D) et montrer que les points A, B,
C, D appartiennent à un même cercle $(c)$ dont on précisera le centre et le rayon.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B.}

Dans un plan, où l'unité de longueur est le centimètre, on donne un rectangle
(A, B, C, D) dont la longueur AB est 8 et la larguer BC est 4.

Faire une figure.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les distances AC et BD.
\item Soit E le milieu de (A,B).

Démontrer que (D, E, C) est un triangle rectangle isocèle.
\item On projette orthogonalement A en K sur la droite (DE). Les droites (AK) et (DC)
se coupent en F.

Démontrer que (A, E, C, F) est un parallélogramme.
\item Soit M le symétrique de D par rapport à E. 

Démontrer que B est le milieu de (C, M), et que la droite (AB) est la médiatrice de (C, M).
\end{enumerate}
\end{document}