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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1979}
\rfoot{\small Polynésie}
\lfoot{\small juin 1979}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Polynésie juin 1979 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $A$ l'application, de $\R$ dans $\R$, définie par 
\[A(x ) = \left(x - \dfrac12\right)^2 - \dfrac94.\]

	\begin{enumerate}
		\item Factoriser A(x).
		\item Résoudre, dans $\R$, l'équation $A(x) = 0$.
		\item L'application $A$ est-elle une bijection ? Pourquoi?
	\end{enumerate}
\item Soit $B$ l'application, de $\R$ dans $\R$, définie par
\[B(x) = ax^2 + bx + 1.\]
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les réels $a$ et $b$ sachant que $B(1) = 0$ et $B(2) = 1$.
		\item Résoudre, dans $\R$, l'équation $\sqrt{B(x)} = 2$.
	\end{enumerate}
\item Soit $h$ la fonction, de $\R$ dans $\R$, définie par
\[h(x) = \frac{A(x)}{x + 1} - \dfrac{x^2 - 2x + 1}{x - 2}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}_h$ de cette fonction, puis simplifier $h(x)$.
		\item Calculer $h\left(\sqrt 3\right)$.
		\item Résoudre, dans $\R$, l'équation $h(x) = - \dfrac53$.
	\end{enumerate}
\item Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij, construire la représentation graphique de
l'application $f$ définie dans $\R$ par
\[\begin{array}{l l l}
f(x) = 3 - 2x &\text{pour }&x < 1\\
f(x) = 1&\text{pour }&1 \leqslant x \leqslant 3,\\
f(x) = x - 2&\text{pour }&x  > 3
\end{array}\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Dans un plan euclidien muni d'un repère orthonormé \Oij, on considère les points 
\begin{center}A$(-2~;~ 5)$,\qquad  B$(-1~;~-2)$\quad  et \quad C(3~;~0).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les composantes des vecteurs $\vect{\text{AB}}, \: \vect{\text{AC}}$ et $\vect{\text{BC}}$, puis les normes de ces trois vecteurs.

Que peut-on en conclure pour le triangle (A, B, C) ?
\item Calculer les coordonnées du milieu M de (A, B) et du milieu N de (A, C).

Que peut-on dire des vecteurs $\vect{\text{MN}}$  et $\vect{\text{BC}}$ ?
\item On donne $\vect{\text{OD}} = x\vect{\imath} + 6\vect{\jmath}$. 

Déterminer le réel $x$ de sorte que les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AD}}$ soient orthogonaux.

Démontrer que, lorsque $x$ a la valeur ainsi trouvée, D appartient au cercle de centre A et de rayon AB.
\item Soit E l'image de A dans la translation de vecteur $\vect{\text{BC}}$.

Calculer les coordonnées de E.

Calculer les coordonnées du point d'intersection des droites (AC) et (BE).
\end{enumerate}
\end{document}