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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1982}
\rfoot{\small Polynésie}
\lfoot{\small juin 1982}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Polynésie juin 1982 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ l'application. de $\R$ dans $\R$ définie par

\[f(x) = (3x - 5)^2 - (x + 2)^2.\]
\smallskip

	\begin{enumerate}
		\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$.
		\item Factoriser $f(x)$.
		\item Résoudre, dans $\R$ l'équation $f(x) = 0$.
		\item $f$ est-elle bijective ? Pourquoi ?
		\item Calculer $f(0),\: f\left(- \dfrac12\right)$ et $f\left(2\sqrt 3\right)$, puis donner un encadrement de $f\left(2\sqrt 3\right)$ à une unité près, sachant que
$1,732 < \sqrt 3 < 1,733$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij, tracer les droites 
		$\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ d'équations respectives

\begin{center}$2x+y-1=0$\quad  et \quad $x-y-5=0$.\end{center}

		\item Résoudre graphiquement le système
		
\[\left\{\begin{array}{l c l}
2x +y - 1&=&0 \\
\phantom{2}x - y - 5&=&0.
\end{array}\right. \:  (x~;~y) \in \R^2.\]
		\item Résoudre graphiquement le système 
		
\[\left\{\begin{array}{l c l}
2x +y - 1&>&0 \\
\phantom{2}x - y - 5&<&0.
\end{array}\right. \: (x~;~y) \in \R^2.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Dans un plan euclidien muni d'un repère orthonormé \Oij{} on considère les quatre points A, B, C et D définis par

\[\vect{\text{OA}} = 3\vect{\imath} + 4\vect{\jmath}, \quad \vect{\text{OB}} = -2\vect{\imath} + 2\vect{\jmath}, \quad \vect{\text{OC}} = - 4\vect{\imath} - 3\vect{\jmath}, \quad \vect{\text{OD}} = \vect{\imath}  - \vect{\jmath}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les composantes des vecteurs $\vect{\text{BA}}$ et $\vect{\text{CD}}$.
		\item Calculer $\left\|\vect{\text{AB}}\right|$ et $\left\|\vect{\text{AD}}\right\|$.
		\item Déduire des résultats précédents la nature du quadruplet (A, B, C, D). 

Que peut-on dire des droites (AC) et (BD) ? Pourquoi ?
	\end{enumerate}
\item Soit I le milieu de [AC].

Montrer que l'on a l'égalité

\[\vect{\text{IA}} + \vect{\text{IB}} + \vect{\text{IC}} + \vect{\text{ID}}= \vect{0}.\]

\item Déterminer une équation de la droite (AC).
\item Soit K le point dont les coordonnées sont $\left(-\dfrac87~;~ - \dfrac17\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Sans construire K, montrer que les points C, K et A sont alignés.
		\item Montrer que le triangle (K, B, A) est rectangle en B.
	\end{enumerate}
\item Montrer que le cercle de centre K et de rayon [KB] est tangent en D à la droite (AD).
\item On désigne par $\alpha$ l'écart angulaire. en degré, de l'angle $\widehat{\text{KAB}}$.

Calculer $\tan \alpha$, puis donner une valeur approchée de $\alpha$ à un degré près par défaut.

On donne

\[\begin{array}{l c l}
\tan 22\degres& \approx &\np{0,40402},\\
\tan  23\degres&\approx &\np{0,42447},\\
\tan 24\degres&\approx &\np{0,44522},\\
\tan 25\degres&\approx &\np{0,46630}.
\end{array}\]
\end{enumerate}
\end{document}