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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 1975}}
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\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Polynésie juin 1975~\decofourright}}}

\medskip

\textbf{Algèbre}
\end{center}

Soit les fonctions polynômes définies dans $\R$ par
\[\begin{array}{l c l}
A(x) &=& (5x - 4)^2 - (1 - 3x)^2\\
B(x) &=& 4x^2 + 9 - 12x +3(2x - 3)(2 - x) - 2(2x - 3)
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Réduire et ordonner les expressions $A(x)$ et $B(x)$.
\item Mettre $A(x)$ et $B(x)$ sous forme de produits de facteurs du premier degré.

On commencera par factoriser $\left(4x^2 + 9 - 12x\right)$.
\item Soit la fonction $f$ définie dans $\R$ telle que:

\[f(x) = \dfrac{A(x)}{B(x)}.\]

Déterminer l'ensemble d'existence de cette fonction.
\item Simplifier la fraction rationnelle $f(x)$.
\item Résoudre les équations $f(x) = 0$ et $f(x) = 1$.
\item On donne $1,73 < \sqrt 3 < 1,74$ ;  en déduire un encadrement de $f\left(\sqrt 3\right)$.

Obtient-on les valeurs approchées à $10^{-2}$ près de $f\left(\sqrt 3\right)$ ?
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Géométrie}
\end{center}

\Oij{} est un repère orthonormé du plan $\Pi$.

Les points A, B et C sont définis par:

\[\vect{\text{OA}} = 4\vect{\imath} + 2\vect{\jmath}, \quad \vect{\text{OB}} = 8\vect{\imath} + 5\vect{\jmath}, \quad \vect{\text{OC}} = \vect{\imath} + 6\vect{\jmath}.\]
\smallskip

\begin{enumerate}
\item Représenter graphiquement les points A, B et C dans le repère donné.

Déterminer les composantes des vecteurs $\vect{\text{AB}},\:\vect{\text{AC}}$ et $\vect{\text{BC}}$.
\item Calculer les distances $d$(A, B), $d$ (A, C) , et $d$(B, C).
\item Montrer que les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$ sont orthogonaux.

En déduire, avec les résultats de la deuxième question, la nature du triangle ABC.
\item I est le milieu de [BC].

Déterminer l'équation de la droite $d$ qui passe par A et I.
\item Calculer les coordonnées du point D qui est l'intersection de la droite $d$ et de la droite $d'$ d'équation $y = \dfrac95 x$.

Faites figurer sur le graphique l'intersection de $d$ et $d'$.
\item Quelle est la nature du quadrilatère ABDC ?.
\end{enumerate}
\end{document}