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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1978}
\rfoot{\small Polynésie}
\lfoot{\small juin 1978}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Polynésie juin 1978 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

On considère les applications $f,\: g,\: h$ de $\R$ dans $\R$, définies par:

\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=&(2x + 1)^2 - (3x - 5)^2\\
g(x)&=&4x^2 - 25 - (3x + 1)(5 - 2x) - 20x + 50\\
h(x)&=& 4x^2 - 20x + 25.
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$ et $g(x)$.
		\item Montrer que $h(x)$ est le carré d'un binôme du premier degré.
		\item Montrer que $f(x)$ et $g(x)$ peuvent s'écrire sous la forme :
\begin{center}$f(x) = (5x - 4) (6 - x)$\quad  et \quad $g(x) = (2x - 5)(5x - 4)$.\end{center}
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $\R$, les équations suivantes:
\[f(x) = 0\: ;\quad g(x) = 0 \: ;\quad h(x) = 1 \: ;\quad f(x) = g(x).\]
		\item Les applications $f,\: g,\:h$ sont-elles des bijections ? Pourquoi ?
	\end{enumerate}
\item Soit $t$ la fonction rationnelle définie par
$t(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer son domaine de définition $\mathcal{D}_t$ puis simplifier $t(x)$ dans $\mathcal{D}_t$.
		\item Calculer $t\left(\sqrt 5\right)$ et donner de ce résultat la valeur approchée par défaut à $10^{-2}$ près sachant que $2,236 < \sqrt 5  < 2,237$.
		\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $t(x) > 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

Dans le plan euclidien muni d'un repère orthonormé \Oij, on considère les
points A, B et C définis par :
\begin{center}$\vect{\text{OA}}=-\vect{\imath} + \vect{\jmath}\:;\quad\vect{\text{OB}}= 3\vect{\imath} + 3\vect{\jmath}$\:;\quad et \quad $\vect{\text{OC}}= 2\vect{\imath}$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Faire la figure (unité: 1 cm) et indiquer quelles sont les coordonnées 
des points A, B et C.
		\item Calculer les coordonnées du point M, milieu de [AB].
	\end{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées du point D tel que le quadruplet (A, B, C, D) soit un parallélogramme.
\item Montrer que la droite (CM) est la médiatrice du segment [AB].
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du point E, symétrique de C par rapport à M.
		\item Montrer que le quadruplet (A, E, B, C) est un carré.
	\end{enumerate}
\item Montrer que les points D, O, B sont alignés.

\end{enumerate}
\end{document}