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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1989}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Polynésie juin 1989 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère l'expression 

\[A (x) = 2x^2 - 3x - 7 \quad (x \:\text{désigne un nombre réel}).\]

Calculer $A(x)$ pour $x =- 1$\:;\: $x = \dfrac13$\:;\: $x = \sqrt 3$.

Le résultat du dernier calcul sera donné sous la forme
$a + b\sqrt 3$, où $a$ et $b$ sont des entiers.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner, suivant les puissances
décroissantes du nombre réel $x$, le polynôme 

\[f(x) = 49x^2 - 16 - (7x - 4)(3x - 1).\]

\item Factoriser $f(x)$.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Une place de spectacle coûte $300$ francs pour un adulte et $200$ francs pour un enfant.

Le nombre total de spectateurs est $250$ et la recette est de \np{72000}~francs.

Calculer le nombre $x$ d'adultes et le nombre $y$ d'enfants ayant assisté au spectacle.

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

Dans cette partie, on demande des valeurs exactes.

ABC est un triangle rectangle en A tel que AB $= 7,5$~cm et BC $= 12,5$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le triangle ABC en respectant les mesures. 

On expliquera brièvement la construction.

Tracer ensuite la hauteur [AH] et la droite parallèle à [AH] passant par B. 

Cette parallèle coupe (AC) en M.
\item Calculer AC.
\item Calculer $\cos \widehat{\text{ACB}}$ puis HC. 

Calculer $\tan \widehat{\text{ACB}}$ puis BM.
\item En utilisant la propriété de Thalès, calculer AM.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Dans un repère orthonormé \Oij, on considère les points I(3~;~1) et A$(5~;~- 5)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du point C tel que $\vect{\text{OC}} = 2 \vect{\text{OI}}$.
\item Calculer les coordonnées de $\vect{\text{AI}}$ et montrer que le triangle
AIC est rectangle en I.
\item Écrire une équation de la droite (AC).
\item Écrire une équation de la droite passant par O et perpendiculaire à (AC).
\item Calculer les coordonnées de la projection orthogonale H de O sur (AC).
\item Calculer AC et OA et vérifier que le triangle OAC est isocèle.
\end{enumerate}
\end{document}