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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1990}
\rfoot{\small Polynésie française}
\lfoot{\small juin 1990}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Polynésie française juin 1990 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer

\[A = \dfrac{13}{6} - \dfrac49 ; \quad B = \dfrac43 - 3 \times \dfrac79.\]

\item Développer

\[C = (x-2)(x+2)\quad ; \quad D = (x - 2)^2.\]

\item Soit $F(x) = (x - 3)^2 - (x - 3)(2x - 4).$
	\begin{enumerate}
		\item Factoriser $F(x)$.
		\item Calculer $F\left(\sqrt 5\right)$.
		\item Résoudre l'équation $(x - 3)(-x + 1) = 0$.
	\end{enumerate}
\item Résoudre le système :
\[\left\{\begin{array}{l c r}
-2x +3y &=& 7\\
\phantom{-}3x- 5y &=& -11.
\end{array}\right.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le dessin ci-après représente une pyramide régulière à base carrée, de hauteur AR~$=~3$~cm.

On a BC = 4 cm.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le volume de cette pyramide, en cm 3.
		\item Dessiner le carré BCDE en vraie grandeur et démontrer que
l'on a HC = 2cm.
		\item Sachant que le triangle ARC est rectangle en H, calculer AC. 
	\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.7,4)
\psline(0,0.2)(3.2,0.2)(4.4,1.7)(2.2,3.4)(3.2,0.2)%BCDAC
\psline(2.2,3.4)(0,0.2)%AB
\psline[linestyle=dashed](0,0.2)(1.2,1.7)(4.4,1.7)%BED
\psline[linestyle=dashed](1.2,1.7)(2.2,3.4)(2.2,0.95)%EAH
\uput[u](2.2,3.4){A} \uput[d](0,0.2){B} \uput[d](3.2,0.2){C}
\uput[r](4.4,1.7){D} \uput[dr](1.2,1.7){E} \uput[d](2.2,0.95){H}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip
\item  B et C sont deux points du plan tels que BC $= 8$ cm.
	\begin{enumerate}
		\item Dessiner le cercle $(\mathcal{C})$ de diamètre [BC].
		\item Placer un point A sur $(\mathcal{C})$ tel que BA $= 4$ cm.
		\item Démontrer que le triangle BAC est rectangle en A.
		\item Calculer $\cos \widehat{\text{ABC}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormal (prendre pour unité
1 cm), placer les points A(2~;~1), \,B(6~;~3) et C$(-1~;~2)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{AB}}$.
\item Placer le point D, image du point C par la translation de
vecteur $\vect{\text{AB}}$. 

Déterminer les coordonnées du point D.
\item Démontrer que le quadrilatère ABDC est un parallélogramme.
\item Déterminer l'équation de la droite (AB).
\item Démontrer que le coefficient directeur de la droite $(\Delta)$ passant par D et perpendiculaire à la droite (AB) est $-2$.
\item Déterminer l'équation de la droite $(\Delta)$.
\item Montrer que le point I(4~;~2) appartient aux droites (AB) et $(\Delta)$.
\item Calculer l'aire du parallélogramme ABDC.
\end{enumerate}
\end{document}