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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1978}
\rfoot{\small Polynésie}
\lfoot{\small septembre 1978}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Polynésie septembre 1978 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

On considère les applications $f$ et $g$ définies  dans $\R$ par: 
\[\begin{array}{l c l}
f(x) &=&(3x - 2)(5x + 6)+ 3(4 - 6x)\: \text{et}\\
g(x)&=&(4x - 3)^2 - \left(x^2 - 2x + 1\right).
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$ et $g(x)$.
\item Ecrire $f(x)$ sous la forme de produits de facteurs du premier degré, 
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = g(x)$.
\item Soit $h$ la fonction rationnelle définie par :
\[h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Donner son ensemble de définition $\mathcal{D}_h$, puis simplifier $h(x)$.
		\item Calculer $h\left(\dfrac{2}{15}\right)$, \:$h\left(2 - \sqrt 2 \right)$ et donner de ce dernier résultat la valeur approchée par défaut à $10^{-2}$ près, sachant que $1,414 < \sqrt 2 < 1,45$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip


Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij, on donne les points
\begin{center}A$(-4~;~0)$ ;\quad  B(3~;~1) ;\quad C(6~;~4) ;\quad D$(-1~;~3)$\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que (A, B, C, D) définit un parallélogramme.

Déterminer les coordonnées de son centre de symétrie I.
\item Démontrer que le triangle (O, B, D) est un triangle rectangle isocèle.
\item Déterminer les coordonnées du point E tel que $\vect{\text{OE}} = \dfrac45\vect{\text{OB}} + \dfrac75 \vect{\text{OD}}$.

On trouve E(1~;~5).
\item Montrer que les points D, A, E sont alignés.
\item Déterminer les coordonnées du point G tel que $2\vect{\text{GA}} - \vect{\text{GC}} = 2\vect{\text{CE}}$. On trouve G$(- 4~;~- 6)$.
\item Soit $(\mathcal{C})$ le cercle de centre O et de rayon OA. Il recoupe l'axe des abscisses en A$'$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que (GA) est tangente du cercle $(\mathcal{C})$.
		\item La droite (GA$'$) coupe $(\mathcal{C})$ en M.

Quelle est la nature du triangle (A, M, A$'$) ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}