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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small juin 1997}
\lfoot{\small Polynésie}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Polynésie juin 1997 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer et donner chaque résultat sous la forme d'une fraction aussi simplifiée que possible.

\[A = \dfrac32 - \dfrac56 \times \dfrac{2}{15}, \qquad B = \dfrac{\dfrac43}{2}\]

\item Calculer $C$ et donner l'écriture décimale du résultat:

\[C = \dfrac{5\times 6 \times 10^{-4}}{15 \times10^3}\]

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

La Polynésie française compte \np{219500}~habitants.

Leur répartition géographique est représentée par le diagramme circulaire ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(-4,-2.2)(4,3.4)
%\psgrid
\pscircle(0,0){2}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=blue](0,0){2}{180}{90}
\pswedge[fillstyle=hlines](0,0){2}{90}{100.82}
\pswedge[fillstyle=vlines](0,0){2}{100.82}{113.94}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0){2}{113.94}{159.89}
\pswedge(0,0){2}{159.89}{180}
\rput(3,0){\footnotesize Îles du Vent}\rput(3,-0.4){\footnotesize \np{162700} hab.}
\rput(1,2.6){\footnotesize Îles Australes}\rput(1,2.2){\footnotesize \np{6600} hab.}
\psline{->}(0.3,2.3)(-0.2,1.95)
\rput(-1,2.6){\footnotesize Îles Marquises} \rput(-1,2.2){\footnotesize \np{8000} hab.}
\rput(-2.4,1.8){\footnotesize Îles sous le Vent}\rput(-2.4,1.4){\footnotesize \np{26800} hab.}
\rput(-3,0.4){\footnotesize Îles Tuamotu-} \rput(-3,0){\footnotesize Gambier}
\end{pspicture}
\end{center}%fig

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre d'habitants des îles Tuamotu-Gambier.
\item Calculer le pourcentage des habitants des Îles sous le Vent par rapport à la population totale.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Résoudre le système: $\left\{\begin{array}{l c l}
\phantom{9}x + \phantom{16}y&=&10\\
9x + 16y 					&=& 132.
\end{array}\right.$

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

On considère l'expression : $D = (2x - 3)^2 - 4$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser $D$.
\item Développer et réduire $D$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\emph{Attention cette figure n'est pas à l'échelle.}

L'unité est le centimètre.

AC $= 8$\quad AB $= 6$\quad BC $= 4$

AF $= 6$\quad   AE $= 4,5$
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.4,2.4)
\pspolygon(0.2,0.2)(3.7,0.2)(4.1,2)%ABC
\psdots(2.7,0.2)(3.12,1.55)%EF
\uput[l](0.2,0.2){A} \uput[r](3.7,0.2){B} \uput[u](4.1,2){C}
\uput[d](2.7,0.2){E} \uput[ul](3.15,1.6){F}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item Les droites (EF) et (BC) sont-elles parallèles ?

Justifier votre réponse.
\item La parallèle à la droite (FB) passant par E coupe le segment [AC] en
un point G.

Calculer la longueur AG.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{minipage}{0.48\linewidth}


Deux points B et M sont situés de part et d'autre du chenal Tahiti- Moorea.

Un géomètre veut calculer la distance séparant ces deux points.

Il sait que :

$\widehat{\text{BAM}} = 75\degres, \quad  \widehat{\text{ABM}} = 60\degres$, \quad AB $= 16$.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.3,4)
%\psgrid
\rput(4.9,2.2){Tahiti}
\rput(0.6,3.5){Moorea}
\psdots(0.3,0.6)(4.6,1.8)(1.3,3.5)
\pscurve(0,0.1)(0.5,0.15)(1,0.5)(2,2.4)(1.9,3.8)
\pscurve(4.7,0.7)(4.1,1.3)(4.2,2.5)(4.9,2.9)
\pspolygon[linestyle=dashed](0.3,0.6)(4.6,1.8)(1.3,3.5)%BMA
\psline[linestyle=dashed](1.3,3.5)(1.93,1.05)%AH
\uput[u](1.3,3.5){A} \uput[dl](0.3,0.6){B} \uput[d](4.6,1.8){M} \uput[dr](1.93,1.05){H}
\psarc(1.3,3.5){0.4}{-105}{-30}\rput(1.5,2.9){$75\degres$}
\psarc(0.3,0.6){0.4}{18}{78}\rput(0.8,1.1){$60\degres$}
\rput{16}(1.93,1.05){\psframe(0.2,0.2)}
\end{pspicture}
\end{minipage}

L'unité de longueur est le kilomètre.

On appelle H la projection orthogonale de A sur la droite (BM).

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant la trigonométrie dans le triangle rectangle ABH, calculer la longueur BH.

On admettra pour la suite de l'exercice que BH $= 8$.
\item Calculer la valeur exacte de la longueur AH ; on montrera que

AH $= 8\sqrt 3$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'angle $\widehat{\text{HAM}}$ mesure $45\degres$.
		\item En déduire, sans calcul, que : HM = HA. Justifier votre réponse.
	\end{enumerate}	
\item Calculer la longueur BM.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J).

L'unité est le centimètre.

La figure sera faite sur une feuille de papier millimétré.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points dont les coordonnées sont : A$(-4~;~2)$\quad B(4~;~4)\quad C(5~;~0).
\item Déterminer une équation de la droite (AB).

\emph{On admettra pour la suite du problème que la droite {\rm(AB)} a pour équation} : $y = \dfrac14 x + 3$.
\item On appelle $(\Delta)$ la droite d'équation: $y = -4x + 20$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier par le calcul que les points B et C appartiennent à $(\Delta)$.
		\item Tracer la droite $(\Delta)$.
	\end{enumerate}	
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les droites $(\Delta)$ et (AB) sont perpendiculaires.
		\item En déduire la nature du triangle ABC. 
		\item Calculer les longueurs AB et BC.
		\item Calculer l'aire du triangle ABC.
		\item On appelle E le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. 
		
Calculer les coordonnées du point E.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}