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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1998}
\rfoot{\small Polynésie }
\lfoot{\small juin 1998}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Polynésie juin 1998 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer et donner le résultat sous la forme d'une fraction aussi simplifiée que possible.

\[A = \dfrac23 -  \dfrac12, \qquad  B = \dfrac76 + \dfrac52.\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $\sqrt{50}$ et $\sqrt{53}$ sous la forme $a b$,où à et b sont des entiers. 
\item On donne les résultats suivants : $\sqrt{32} =4\sqrt{2}$ et $\sqrt{72} =6\sqrt{2}$.

Écrire le nombre $C = 5\sqrt{32} - 3\sqrt{72}$ sous la forme $c\sqrt{2}$, où $c$ est un entier.
\end{enumerate}

\bigskip

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On considère l'expression $D = (2 x + 3)^2 - 2( x - 5)^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer $(2 x + 3)^2$.
\item Développer $( x - 5)^2$.
\item Développer et simplifier l'écriture de $D$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Factoriser $E = (5x + 3)(4x - 7)+ (5x + 3)(x +3)$.

\medskip

\textbf{Exercice 5}

\medskip

Pour une radiocassette, j'ai obtenu une réduction de $10\,\%$ sur le prix réel et j'ai payé \np{5760} francs.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On appelle $p$ le prix réel. Écrire une équation correspondant au problème.
\item Quel était le prix réel de cet appareil ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

ABCD est un carré de centre O.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(6,6.4)
\psframe(0.3,0.3)(5.6,5.6)
\psline(0.3,0.3)(5.6,5.6)(5.6,0.3)(0.3,5.6)
\uput[ul](0.3,5.6){A} \uput[ur](5.6,5.6){B} \uput[dr](5.6,0.3){C} \uput[dl](0.3,0.3){D} \uput[d](2.95,2.95){O}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter les égalités vectorielles suivantes, à l'aide d'un seul vecteur de la figure :

$\vect{\text{BA}} = \ldots, \qquad \vect{\text{AO}} = \ldots, \qquad \vect{\text{BA}} + \vect{\text{AD}} = \ldots$.
\item Construire le point E tel que : $\vect{\text{AE}} = \vect{\text{AB}} + \vect{\text{AC}}$.

(On laissera les traits de construction.)
\item Compléter, sans justifier, les phrases suivantes :

\begin{itemize}
\item l'image du point D par la symétrie de centre O est \ldots
\item l'image du point C par la translation de vecteur $\vect{\text{BA}}$ est \ldots
\item l'image du point A par la symétrie d'axe (BD) est \ldots
\item l'image du point A par la rotation de centre O, dans le sens des aiguilles d'une montre et d'angle $90\degres$, est \ldots
\end{itemize}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{minipage}{0.58\linewidth}
Attention :

Cette figure n’est pas à l'échelle.

On ne reconstruira pas la figure.

Les longueurs sont exprimées en mm.

BC $= 60$, \quad  AE $= 12$

Les droites (EF) et (BC) sont parallèles.
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(9,8)
\pspolygon(0.3,0.3)(8.1,0.3)(0.3,7)%BCA
\psline(0,4.3)(4.5,4.3)%EF
\uput[u](0.3,7){A} \uput[dl](0.3,0.3){B} \uput[dr](8.1,0.3){C} \uput[ul](0.3,4.3){E} \uput[ur](3.4,4.3){F}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle ABC est un triangle rectangle.

Quelle est la propriété utilisée ?
\item Calculer la longueur AF. Quelle est la propriété utilisée ?
\item Démontrer que les droites (EF) et (AB) sont perpendiculaires.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{QUESTIONS ENCHAÎNÉS}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La distance entre Tahiti et Huahine est d'environ 180 km.

Les bateaux \og Moana \fg{} et \og Vea \fg{} naviguent entre ces deux îles.

Le \og Moana \fg{} navigue à la vitesse moyenne de $36$ km/h.

Combien de temps lui faut-il pour faire ce trajet ?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Refaire le repère ci-dessous sur une feuille de papier millimétré, avec les unités suivantes :
\begin{itemize}
\item en abscisse : 3 cm pour 1 heure ;
\item en ordonnée : 1 cm pour 20 km.
\end{itemize}

		\item Placer, sur la feuille de papier millimétré, les points A, B et C dont les coordonnées sont : A(5~;~180),\,  B(0~;~180), \,  C(4~;~0).
	\end{enumerate}
\item  La droite (OA) représente le déplacement du bateau Moana qui part à 0 heure de Tahiti et arrive à 5 heures à Huahine.
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la droite (OA).
		\item Calculer le coefficient directeur de la droite (OA).
		\item Déterminer l'équation de la droite (OA).
	\end{enumerate}	
\item La droite (BC) représente le déplacement du bateau Vea.
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la droite (BC).
		\item De quel île part le \og Vea \fg{} et à quelle heure ?
		\item Où arrive-t-il et à quelle heure ?
		\item Déterminer l'équation de la droite (BC).
	\end{enumerate}
\item Les droites (OA) et (BC) se coupent en M, représentant la rencontre des deux bateaux.

Vous utiliserez le graphique pour répondre aux questions  suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item Lire et écrire les coordonnées du point M.
		\item À quelle distance de Tahiti se trouve le lieu de rencontre des deux bateaux ?
		\item Sachant que, en abscisse, $3$~cm représentent $~1$heure, recopier et compléter les phrases suivantes :
		
1 cm représente \ldots minutes.

1 mm représente \ldots minutes
		\item À quelle heure le deux bateaux se rencontrent-ils ? Donner le résultat en heures et minutes.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre le système : $\left\{\begin{array}{l c l}
y &=&\phantom{-}36x\\
y&=&- 45x + 180
\end{array}\right.$
		\item Interpréter graphiquement les solutions de ce système.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=1.75cm,yunit=0.04cm}
\begin{pspicture}(-1,-20)(5.5,240)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=20,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(5.5,240)
\uput[u](4.5,0){\footnotesize Temps en heures}
\uput[r](0,230){\footnotesize Distance (km)}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}