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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small juin 1999}
\rfoot{\L'année 1999}
\lfoot{\small Polynésie}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Polynésie juin 1999 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer $A,\, B$ et $C$ et donner chaque résultat sous une forme simplifiée.

\[A = \dfrac35 - \dfrac23 \times \dfrac94, \quad  B = \dfrac{1 - \dfrac32}{1 + \dfrac43}, \quad
C = \dfrac{10^2 \times 15 \times 10}{5 \times 10^{-1}}.\]

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Écrire $D$ sous la forme $a \sqrt{b}$ , où $a$ et $b$ sont des nombres entiers, $b$ étant le plus petit possible.

\[D = 3 \sqrt{28}-  \sqrt7.\]

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On considère l'expression :

\[E = (3 + 5x)^2 - (3 + 5x)(2x - 1).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$.
\item Factoriser $E$.
\item Calculer $E$ pour $x = -1$.
\item Résoudre l'équation : $(3 + 5x)(3x + 4) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système

\[\left\{\begin{array}{l c r}
\phantom{200}x + \phantom{200}y			&=&250\\
300x+175y	&=&\np{49375}\\
\end{array}
\right.\]

\item Montrer que ce système permet de répondre à la question posée
dans le problème suivant.

\par La coopérative d'un collège a organisé une séance de cinéma; il y
a eu $250$ entrées et la recette totale est de \np{49375} francs CFP{}. Le prix
d'une place est de $300$ francs CFP pour un adulte et de $175$ francs CFP pour un
enfant.

Quel est le nombre d'adultes et le nombre d'enfants ayant assisté à cette séance ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

(C) est un cercle de 2,5 cm de rayon.

Le segment [AB] est un diamètre de ce cercle. D est un point de ce cercle tel que AD $= 3$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire la figure.
\item Démontrer que le triangle ABD est rectangle.
\item Calculer la longueur DB.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

ABC est un triangle rectangle en B tel que :

AB $= 4$ et $\widehat{\text{BAC}} = 60\degres$.

La figure n’est pas réalisée en vraie grandeur.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,6.5)
\pspolygon(0,0)(3.5,0)(0,5.8)%DEA
\psline(0,1.5)(2.6,1.5)%BC
\uput[u](0,5.8){A} \uput[l](0,1.5){B} \uput[r](2.5,1.5){C} \uput[dl](0,0){D} \uput[dr](3.5,0){E}
\psframe(0,1.5)(0.25,1.75)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Démontrer que AC $= 8$.
\item F est le point de la demi-droite [AC) tel que AF $= 11$.

D est le point de la demi-droite [AB) tel que AD $= 5,5$. 

Démontrer que les droites (BC) et (DF) sont parallèles.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

ABC est un triangle isocèle en  A. [AH] est la hauteur issue de A.

On donne AH $= 4$, BC $= 8$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le triangle ABC en vraie grandeur.
\item Construire le point A$_1$, image de A par la translation de vecteur
$\vect{\text{BC}}$.
\item Construire le point A$_2$, symétrique de A par rapport à la droite (BC).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que AA$_1 =$ AA$_2$.
		\item Calculer l'angle $\widehat{\text{A}_2 \text{A}\text{A}_1}$.
		\item En déduire une double propriété du triangle ABC.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\bigskip

\textbf{Première partie}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthogonal (O, I, J) d'unités graphiques : 5 mm sur l'axe des abscisses; 1 cm sur l'axe des ordonnées.

Placer l'origine O des ordonnées en bas, à gauche de la feuille.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer dans ce repère les droites $D_1$, $D_2$ et $D_3$ d'équations respectives :

\[y = 0,8x, \qquad  y = 0,6x + 3, \qquad  y = 15.\]

\item Montrer par le calcul que le point A(20~;~15) appartient aux droites $D_3$ et $D_2$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du point B, intersection des droites $D_1$ et $D_2$.
		\item Vérifier ce résultat par lecture graphique (laisser visibles les tracés qui vous ont permis de conclure).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

Une entreprise de transport maritime propose, pour la traversée du chenal entre Tahiti et Moorea, trois tarifs :
\begin{itemize}
\item Tarif 1 : un prix de $800$ CFP par traversée.
\item tarif 2 : un prix de $600$ CFP par traversée, plus un forfait de \np{3000} CFP.
\item tarif 3 : un prix de \np{15000} CFP quel que soit le nombre de traversées.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau suivant :

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{~}&\multicolumn{3}{l|}{Prix payé en CFP}\\ \hline
Nombre de traversées &Tarif 1 &Tarif 2 &Tarif 3\\ \hline
5		&		&		&\\ \hline
18		&		&		&\\ \hline
25		&		&		&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item On désigne par $x$ le nombre de traversées et par $p$ le prix payé (exprimé en francs pacifiques).

Donner l'expression de $p$ en fonction de $x$ pour chaque type de tarif.
\item On désigne par $y$ le prix exprimé en milliers de francs :
Donner les expressions de $y$ en fonction de $x$ pour chacun des trois tarifs.
\item En vous aidant du graphique de la première partie, indiquer quel est le tarif le plus avantageux pour le client, s’il compte effectuer $16$ traversées (laisser visibles les tracés effectués).
\end{enumerate}
\end{document}