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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small juin 2004}
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\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - 
Polynésie juin 2004~\decofourright}}}\end{center}

\vspace{0,5cm} \normalsize{}

\textbf{Activités numériques \hfill 12 points} 

\textit{Tous les exercices sont indépendants} 

\bigskip 

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Le détail des calculs devra apparaître sur la copie. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer A en donnant le résultat sous la forme d'une fraction irréductible. 

\[\text{A} = \dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{4} \times \dfrac{7}{3}.\] 

\item Calculer le nombre C en donnant le résultat sous la forme scientifique. 

\[\text{C} = \dfrac{10^{-8} \times 42 \times 10^{12}}{7 \times 10^5}.\] 

\item Écrire le nombre D sous la forme $a\sqrt{5}$ où $a$ est un nombre entier. 

\[\text{D} = 3\sqrt{20} - \sqrt{45}.\] 

\end{enumerate} 

\bigskip 

\textbf{Exercice 2} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le PGCD des nombres $1\:470$ et $2\:310$. 
\item Rendre irréductible la fraction $\dfrac{1\:470}{2\:310}$. 
\end{enumerate} 

\bigskip 

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On considère l'expression $E = (2x + 3)^2 + (x - 1) (2x + 3)$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer cette expression $E$. 
\item Calculer cette expression $E$ pour $x = - 2$. 
\item Factoriser cette expression $E$. 
\item Résoudre l'équation : $(2x + 3)(3x + 2) = 0$. 
\end{enumerate} 

\bigskip  

\textbf{Exercice 4} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système ci-dessous : 

\[\left\{\begin{array}{l c r} 
x + y &=& 800\\ 
3x + 5y& = &\nombre{2920}\\ 
\end{array}\right.\] 

\item Un jeune homme va déjeuner au fast-food. Il prend un hamburger, une boisson gazeuse et doit payer 800 F. À la table voisine, pour une consommation de 3 
hamburgers et de 5 boissons gazeuses, le montant de la facture s'élève à \nombre{2920}~F. 

Déterminer le prix d'une boisson gazeuse ainsi que le prix d'un hamburger. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points} 

\bigskip  

\textbf{Exercice 1} 

\medskip

\parbox[l]{0.4\textwidth}{[AH] est la hauteur issue du sommet A d'un 
triangle ABC. 
\begin{enumerate} 
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{BAH}}$. On donnera une valeur 
arrondie au degré près. 
\item Calculer la longueur HC. On donnera une valeur arrondie au millimètre. \end{enumerate} } 
\hfill 
\parbox[l]{0.55\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(5,4.5)
\psline(2.5,4.2)(0.3,0.4)(5,0)(2.5,4.2)(2.2,0.22) 
\uput[ur](2.5,4.2){A} \uput[l](0.3,0.4){B} \uput[r](5,0){C} 
\uput[d](2.2,0.22){H} 
\psarc(2.5,4.2){0.8}{-93}{-57} \rput(2.8,3){$40~\degres$} 
\rput{64}(1.2,2.3){8 cm} \rput{83}(2,2){5 cm} 
\end{pspicture}} 

\vspace{0,3cm}

(Sur ce dessin les dimensions indiquées ne sont pas 
respectées) 

\bigskip  

\textbf{Exercice 2}

\vspace{0,3cm} 

\parbox[l]{0.35\textwidth}{Deux droites (PB) et (RC) sont sécantes 
en un point A.
\begin{enumerate} \item Démontrer que les droites (PR) et (BC) sont parallèles.\\ 
\item Calculer la longueur RP.\end{enumerate} } \hfill 
\parbox[l]{0.62\textwidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(7.3,3) 
\psline(1.1,0.8)(7.3,1.6)%PB 
\psline(2,1.9)(6,0)%RC 
\psline(1.1,0.8)(2,1.9)%PR 
\psline(6,0)(7.3,1.6)%CB 
\rput(2.8,1.8){6 cm} \rput(5.2,1.6){35 cm} 
\rput(2.2,0.6){7,5 cm} \rput(4.6,0.2){28 cm} 
\uput[l](1.1,0.8){P} \uput[u](2,1.9){R} 
\uput[r](7.3,1.6){B} \uput[d](6,0){C} 
 \uput[r](6.6,0.8){21 cm}
\end{pspicture}} 

(Sur ce dessin les dimensions indiquées ne sont pas respectées) 

\begin{center} \textbf{À détacher et à rendre avec la copie} \end{center} 

\bigskip 

\textbf{Problème \hfill 12 points} 

\bigskip  

\textbf{Partie A} 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Dans le repère orthonormé ci-dessous, placer les points A$(7~;~-7)$ et  B(17~;~17). 
\item Calculer les coordonnées du point I milieu du segment [AB]. 
\item Calculer les longueurs IA, IB et IO. En déduire que les points A, B et O sont 
sur un cercle dont on précisera le centre et le rayon. 
\item Tracer le cercle de diamètre [AB]. 
\item Démontrer que le triangle BOA est rectangle. 
\end{enumerate} 

\bigskip  

\textbf{Partie B} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du point C image du point O par la symétrie de  centre I. 
\item Démontrer que le quadrilatère BOAC est un rectangle. 
\end{enumerate} 

\bigskip  

\textbf{Partie C} 

\begin{enumerate}
\item Placer le point D image du point A par la rotation de centre I, dans le sens  des aiguilles d'une montre et d'angle $90~\degres$. 
\item Donner par lecture graphique, les coordonnées du point D. 
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{ACD}}$ . 
\end{enumerate} 

\begin{center}
\psset{unit=3mm} \begin{pspicture}(-7,-9)(32,20) 
\psgrid[griddots=10,gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.1pt](0,0)(-7,-9)(32,20) 
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(-7,0)(32,0) 
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-9)(0,20) 
\uput[dl](0,0){O} \uput[dr](1,0){1} \uput[ul](0,1){1} 
\psline(1,-0.2)(1,0.2) \psline(-0.2,1)(0.2,1)
\end{pspicture} 
\end{center} 
\end{document}
