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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2005}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
    
{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Polynésie septembre 2005~\decofourright}}
    
\vspace{0,5cm}
    
\textbf{Durée : 2 heures} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1  On donnera le détail des calculs}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible :

\[\text{A} = \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{2} \times\left(\dfrac{2}{3} - 1 \right).\]

\item Calculer et donner le résultat en écriture scientifique :
	
\[\text{B} = \dfrac{5 \times 10^{-3} \times 12 \times 10^6}{15 \times 10^2 \times 8 \times 10^{-5}}\]

\item Calculer et donner le résultat sous la forme $a\sqrt{7}$ où $a$ est un entier relatif :
\[\text{C} = 2\sqrt{63} - \sqrt{112} + 3\sqrt{28}.\]
 \end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\[E = (3x - 2)^2 + (7x +5) (3x - 2)\]

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$ 
\item Factoriser $E$. 
\item Résoudre l'équation $(3x - 2) (10x +3) = 0$. 
\item Calculer $E$ pour $x = -1$.
 \end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On considère l'inéquation : $2x - 5 \leqslant \dfrac{3}{2} - 11x$.
\begin{enumerate}
\item Le nombre $0$ est-il solution de cette inéquation ? Justifier la réponse. 
\item Le nombre $1$ est-il solution de cette inéquation ? Justifier la réponse.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre l'inéquation : $2x - 5 \leqslant \dfrac{3}{2} - 11x$.
		\item Représenter les solutions sur une droite graduée.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\parbox{0.45\textwidth}{\psset{unit=0.9cm}\begin{pspicture}(-3.1,-3.1)(3.1,3.1)
\pscircle(0,0){3.2}
\scalebox{.99}[0.17]{ \psarc[linewidth=2pt](0,0){3.2}{180}{0}}%
\scalebox{.99}[0.17]{\psarc[linestyle=dashed](0,0){3.2}{0}{180}}%
\scalebox{.99}[0.17]{ \psarc[linewidth=2pt](0,6.8){3}{180}{0}}%
\scalebox{.99}[0.17]{\psarc[linestyle=dashed](0,6.8){3}{0}{180}}%
\pscurve(-1,-0.5)(-0.95,0.7)(-0.7,2)(-0.45,2.7)(0,3.2)
\qdisk(0,0){1.5pt} \uput[dr](0,0){O}
\qdisk(-1,-0.5){1.5pt} \uput[dl](-1,-0.5){M}
\qdisk(-0.94,0.7){1.5pt} \uput[ul](-0.94,0.7){L}
\qdisk(0,1.63){1.5pt} \uput[ur](0,1.63){S}
\psline[linestyle=dashed](0,0)(-1,-0.5)
\pspolygon[linestyle=dashed](0,0)(0,1.63)(-0.94,0.7)
\psline[linestyle=dashed](-3,1.2)(3,1.2)
\pscurve(-0.3,0.2)(-0.2,0.3)(0,0.36)
\end{pspicture}} \hfill
\parbox{0.5\textwidth}{Le dessin ci-contre représente la Terre qui est assimilée à une sphère de \np{6370}~km de rayon. Le cercle de centre O passant par M représente l'équateur. Le point L représente la ville de Londres. L est situé sur la sphère et sur le cercle de centre S (voir figure). On admettra que l'angle $\widehat{\text{LSO}}$ est un angle droit. On donne OS = \np{4880}~km.
\begin{enumerate}
\item Calculer SL au km près.
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{SOL}}$ et arrondir au degré prés. 
\item En déduire au degré près la latitude Nord de Londres par rapport à l'équateur, c'est à dire l'angle $\widehat{\text{LOM}}$.
\end{enumerate}}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\parbox{0.45\textwidth}{\begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
\SpecialCoor
\psarc(0,0){4mm}{0}{45} \rput(0.8;22.5){45 \degre}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-3,-3)(3,3)
\qdisk(1,0){1.5pt} \uput[d](1,0){I}
\uput[dl](0,0){O} 
\qdisk(0,1){1.5pt} \uput[l](0,1){J}
\psline(2.4;0)(2.4;45)(2.4;90)(2.4;135)(2.4;180)(2.4;225)(2.4;270)(2.4;315)(2.4;0)
\uput[ur](2.4;0){A} \uput[ur](2.4;45){T} \uput[ul](2.4;90){Y} \uput[ul](2.4;135){U} 
\uput[ul](2.4;180){H} \uput[dl](2.4;225){L} \uput[dr](2.4;270){G} \uput[dr](2.4;315){N} 
\psline(2.4;0)(2.4;180) \psline(2.4;45)(2.4;225) \psline(2.4;135)(2.4;315)
\uput[d](3,0){$x$} \uput[l](0,3){$y$}
\NormalCoor
\end{pspicture}} \hfill
\parbox{0.5\textwidth}{Dans le repère (O, I, J) ci-contre, on sait que HUYTANGL est un octogone régulier.
\begin{enumerate}
\item Quel est le symétrique de T par la symétrie centrale de centre O ?
\item Quel est le symétrique de T par rapport à l'axe des ordonnées ?
\item Quelle est l'image de T par la rotation de centre O et d'angle  135 \degres dans le sens des aiguilles d'une montre ?
\item Quelle est l'image de U par la translation de vecteur $\vect{\text{AN}}$ ?
\end{enumerate}}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Tracer un triangle OAI que OA = 5 cm, OI = 7,5 cm et AI = 6 cm.

Sur la demi-droite [OA), placer B tel que OB =  7 cm.
 
Sur la demi-droite [OI), placer J tel que OJ = 10,5 cm.

\medskip

\item Montrer que les droites (AI) et (BJ) sont parallèles.
\item Calculer la longueur BJ.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points} 

\bigskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J).

L'unité de longueur est le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la fonction affine $f$ telle que : $f(4) = - 2$ et $f(0) = 6$.
\item En utilisant les points A$(4 ~;~ -2)$ et B(0 ; 6), tracer la représentation graphique de la fonction affine $f$.
\item Soit $g$ la fonction affine définie par $g(x) = \dfrac{1}{2}x + 1$.
	\begin{enumerate}
		\item Construire la droite (d) représentant graphiquement la fonction $g$. 
		\item Montrer que C$(- 4~ ;~- 1)$ appartient à (d) et placer le point C.
	\end{enumerate}
\item Résoudre par le calcul le système suivant :	

\[\left\{\begin{array}{l c l}
y&=&- 2x + 6\\
y&=&\dfrac{1}{2}x + 1\\
\end{array}\right.\]

Expliquer comment on peut retrouver graphiquement le résultat.
\item Montrer que le point E(2 ; 2) est le milieu du segment [AB].
\item Calculer les valeurs exactes des longueurs AE, EC et AC.

 Montrer que le triangle AEC est rectangle.
\item Construire le point F symétrique du point C par rapport à E.
 
Montrer que ACBF est un losange.
\end{enumerate}
\end{document} 