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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1995}
\rfoot{\small Polynésie}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Polynésie  septembre 1995 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer et donner chaque résultat sous la forme d'une fraction aussi  simplifiée que possible:

\[A = 3 \times \dfrac15 -  - \dfrac{2}{15}, \quad .B = \dfrac27 + \dfrac{7}{14}.\]

		\item Écrire $C$ sous la forme $a\sqrt 3$ où $a$ est un nombre entier : 
		
\[C = 4\sqrt 3 - \sqrt{12}.\]

	\end{enumerate}
\item On donne $E = (x + 3)(2x - 5) - (x + 3)^2$
	\begin{enumerate}
		\item Développer et réduire $E$.
		\item Factoriser $E$.
		\item Résoudre l'équation $(x + 3)(x - 8) = 0$.
	\end{enumerate}
\item La population totale de l'Europe des douze s'élève à $344,3$ million d'habitants.

Dans le tableau ci-dessous figure la population des quatre pays les plu peuplés.
	\begin{enumerate}
		\item Le reproduire et le compléter en donnant le pourcentage de chaque population par rapport à la population totale de l'Europe des douze. (Écrire les réponses obtenues à 0,1\,\% près.)
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3cm}|*{4}{>{\centering  \arraybackslash}X|}} \hline
Pays 						&Allemagne	&Italie &Royaume-Uni	&France\\ \hline
Population en millions
 d'habitants				&80			&57,6	& 57,2			&56,3\\ \hline
Pourcentages				&			&		&				&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Le Luxembourg et l'Irlande représentent ensemble $3,9$ millions d'habitants.

Le plus peuplé de ces deux pays est l'Irlande.

Leur différence de population s'élève à 3,1 millions.

Quelle est la population de l'Irlande ?

Quelle est la population du Luxembourg?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

L'unité est le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le triangle ABC tel que AB = 8, AC = 6, BC = 4.
\item E est le point du segment [AB] tel que AE = 6 Sonstruire le point F, image du point E par la translation de vecteur Be.
\item Que peut-on dire du quadrilatère EFCB? Justifier.
\item La droite (EF)coupe la droite (AC) en G. Calculer la longueur EG.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J).
L'unité est le centimètre.
Les constructions seront faites sur une feuille de papier millimétré.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points $A(0~;~-2)$, B(2~;~1,5), C(4~;~5) et D(6~;~2).
\item Démontrer que le point B est le milieu du segment [AC].
\item On appelle E le symétrique du point D par rapport au point B. 

Construire le point E et lire ses coordonnées.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les distances AC et ED.
		\item En déduire la nature du quadrilatère AECD.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Pour ses représentations, une troupe de théâtre envisage de construire un chapiteau en toile.
Une entreprise propose deux modèles :

\begin{center}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(10.5,4.5)
%\psgrid
\psframe(0.2,0.2)(3.2,1.7)%avant
\psline(3.2,0.2)(4.2,1.2)(4.2,2.7)(3.2,1.7)%côté droit
\psline(4.2,2.7)(2.2,3.8)(3.2,1.7)(0.2,1.7)(2.2,3.8)
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.2,1.2)(4.2,1.2)
\psline[linestyle=dashed](1.2,1.2)(1.2,2.7)(0.2,1.7)(2.2,3.8)%
\psline[linestyle=dashed](0.2,1.7)(1.2,2.7)(2.2,3.8)(2.2,2.2)%BEA
\psline[linestyle=dashed](1.2,2.7)(4.2,2.7)
\psline[linestyle=dashed](0.2,1.7)(2.2,2.2)(4.2,2.7)
\psline(2.2,2.2)(1.7,1.7)%HI
\psline(2.2,2.35)(2.05,2.2)(2.05,2.05)
\uput[u](2.2,3.8){A} \uput[l](0.2,1.7){B} \uput[dl](3.2,1.7){C}
\uput[r](4.2,2.7){D} \uput[dr](1.2,2.7){E} \uput[dr](2.2,2.2){H}
\uput[d](1.7,1.7){I} \uput[l](0.2,0.95){6 m} \uput[d](1.7,0.2){12 m}
\uput[dr](3.7,0.7){12 m} 
\rput(2.2,4.4){\textbf{Le modèle P} }\rput(7.4,4.4){\textbf{Le modèle T} }
%%%%%%%%
\psframe(5.5,0.2)(8.5,1.7)
\psline(8.5,0.2)(9.5,1.2)(9.5,2.7)(8.5,1.7)(8.9,3.5)%côté droit
\psline(5.5,1.7)(5.9,3.5)(8.9,3.5)(9.5,2.7)
\psline[linestyle=dashed](5.5,0.2)(6.5,1.2)(9.5,1.2)
\psline[linestyle=dashed](6.5,1.2)(6.5,2.7)(9.5,2.7)
\psline[linestyle=dashed](5.5,1.7)(6.5,2.7)(5.9,3.5)
\psline[linestyle=dashed](8.9,3.5)(8.9,2.1)
\psline(8.9,2.3)(9.06,2.45)(9.06,2.3)
\uput[l](5.5,1.7){M} \uput[ul](8.5,1.7){N} \uput[ur](9.5,2.7){O}
\uput[ur](6.5,2.7){P} \uput[u](5.9,3.5){Q} \uput[u](8.9,3.5){R}
\uput[dr](8.9,2.1){S} \uput[l](5.5,0.95){6 m} \uput[d](7,0.2){12 m}
\uput[dr](9,0.7){12 m}
\end{pspicture}
\end{center}%fig

Les tarifs de cette entreprise sont : 

$\bullet~~$\np{4000}~F par m2 de toile pour le modèle P ;

$\bullet~~$\np{3500}~F par m$^2$ de toile pour le modèle T.

Toutes les mesures sont données en mètres.

\bigskip

\textbf{Partie A : Étude du toit du modèle P}

\medskip

La base BEDC de la pyramide régulière ABCDE est un carré de $12$~m de
côté.

Son centre est noté H.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne AH $= 8$ m et on appelle I le milieu du segment [BC].
	\begin{enumerate}
		\item Justifier l'égalité IH $= 6$ m.
		\item Calculer la longueur de l'hypoténuse [AI] du triangle rectangle AIH.
	\end{enumerate}	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que (AI) est perpendiculaire à (BC).
		\item Calculer l'aire du triangle ABC.
	\end{enumerate}		
\item En déduire que l'aire de toile nécessaire à la fabrication du toit est de 240 m$^2$.
\end{enumerate}

\bigskip

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude du toit du modèle T}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On appelle S le milieu du segment [ON] et on donne $\widehat{\text{NRS}} = 50\degres$.

Calculer les longueurs RS et RN.

On pourra utiliser les données suivantes :

\[\cos 50\degres \approx 0,643,\quad \sin 50\degres \approx  0,766,\quad \tan 50\degres \approx  1,192\]

Pour la suite du problème, on prendra: RS $= 5,03$ et RN $= 7,83$.
\item Calculer l'aire du triangle ORN.
\item Démontrer que l'aire de toile nécessaire à la fabrication du toit est d'environ 248 m$^2$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le prix de revient de chaque toit.
\item En déduire le modèle qui sera choisi pour le chapiteau.
\end{enumerate}
\end{document}