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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - 
Polynésie septembre 2003~\decofourright}}}\end{center}

\vspace{0,25cm} 

\textbf{Activités numériques \hfill 12 points}

\medskip
 
\emph{Tous les exercices sont indépendants} 

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

A $= \dfrac{5}{4} + \dfrac{11}{4} \times 
\dfrac{20}{33} \qquad ; \qquad  \text{B} = \dfrac{1}{12} \div \left(2 - 
\dfrac{7}{3}\right)$.

Calculer A et B en détaillant les calculs.

Donner le résultat sous la forme d'une fraction simplifiée. 

\bigskip 

\textbf{Exercice 2}

\medskip

 C $ = 15 \times \left(10^7\right)^2 \times 3 \times 10^{-9}$.
 
Calculer C et donner le résultat sous la forme $a \times 10^n$ et avec la notation scientifique. 

\bigskip  

\textbf{Exercice 3}

\medskip

$D = 3(5x - 2) + (x + 1)(5x - 2)$ 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $D$. 
\item Factoriser $D$. 
\item Résoudre l'équation produit $(5x -2 )( x +4) = 0$. 
\end{enumerate} 

\bigskip  

\textbf{Exercice 4} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le PGCD des nombres \np{19679} et \np{23257} par la méthode de votre choix. 
\item Écrire la fraction $\dfrac{\np{19679}}{\np{23257}}$ sous la forme 
irréductible. 
\end{enumerate} 

\bigskip  

\textbf{Exercice 5}

\medskip

Dans un magasin un magnétoscope coûte \np{34000}~F et il est soldé au prix  de \np{25500}~F. 

Quel est le pourcentage de la réduction par rapport au prix initial. 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Activités géométriques \hfill 12 points} 

\bigskip   

\textbf{Exercice 1} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle équilatéral EPS de côté 4 cm. 
\item Construire le point $M$, image du point P dans la translation de 
vecteur $\vect{\text{ES}}$. 
\item Quelle est la nature du quadrilatère EP$M$S ? Justifier. 
\item
	\begin{enumerate}
		 \item construire le point $N$ tel que $\vect{\text{SN}} = 
\vect{\text{SE}} + \vect{\text{SP}}$. 
		\item Montrer que le triangle E$N$P est équilatéral. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\bigskip   

\textbf{Exercice 2} 

\begin{center}
\begin{pspicture}(7,4) 
\psline(0.1,2.5)(1,0)(5.8,3.7)(6.8,2.5)(0.1,2.5)(1.7,0.5)%ADFGAB 
\uput[ul](0.1,2.5){A} \uput[ul](4.3,2.5){E} \uput[dr](6.8,2.5){G} 
\uput[dl](1,0){D} \uput[dr](1.7,0.5){B} \uput[u](5.8,3.7){F} 
\rput(0.88,1.1){$30~\degres$} \psarc(0.1,2.5){0.9}{-70}{-52} 
\psline(1.5,0.8)(1.7,0.95)(1.87,0.7) 
\end{pspicture} 
\end{center} 

On sait que :

EF = 4 cm ; FG = 3 cm; EG = 5 cm ; AE = 7 cm ; $\widehat{\text{DAB}}$ = 30~\degres ; 
les points A, E et G sont alignés ; les points D, E et F sont alignés ; (AB) 
est la hauteur issue de A dans le triangle AED. 

On considère la figure ci-dessus (les dimensions ne sont pas respectées) : 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que EFG est un triangle rectangle. 
\item En déduire que (FG) est parallèle à (AB). 
\item Démontrer que EB = 5,6 cm et AB = 4,2 cm. 
\item Dans le triangle DAB, montrer par le calcul que DB~$\approx$~2,4~cm. 
\item Calculer l'aire du triangle AED à 1 cm$^2$ près. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Problème \hfill 12 points} 

\bigskip  

\textbf{Partie 1}

\medskip

Un club multi-sports propose à ses utilisateurs de choisir entre les trois formules : 

\textbf{Formule A :} \np{1500} F par séance. 
 
\textbf{Formule B :} Forfait de \np{28000} F par an auquel 
s'ajoute une participation de 800 F par séance.

\textbf{Formule C :} Forfait de  \np{98000} F par an quel que soit le nombre de séances. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tania décide de suivre 1 séance par mois pendant toute l'année. 

Willy suivra 1 séance par semaine pendant toute l'année. 

Raitua suivra 2 séances par semaine pendant toute l'année. 
	\begin{enumerate}
 		\item Recopier et compléter le tableau suivant. On ne demande aucun détail de calcul. 

On rappelle qu'une année comporte 52 semaines. 

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4} 
\multicolumn{1}{c|}{} & Tania & Willy & Raitua\\ \hline 
Nombre de séances pour l'année & & & \\ \hline 
Prix à payer avec la Formule A & & & \\ \hline 
Prix à payer avec la Formule B & & & \\ \hline 
Prix à payer avec la Formule C & & & \\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center} 

		\item Quelle est la formule la plus avantageuse pour chacun ? 
	\end{enumerate} 
\item On appelle $x$ le nombre de séances suivies par une personne ; 

\begin{itemize}
\item  soit $P_{\text{A}}$ le prix à payer avec la formule A. 
\item  soit $P_{\text{B}}$ le prix à payer avec la formule B. 
\end{itemize}

Exprimer $P_{\text{A}}$ et $P_{\text{B}}$ en fonction de $x$. 
\item Résoudre l'inéquation  $\np{1500}x \leqslant  \np{28000} + 800 x$. Donner une 
interprétation de la réponse. 
\end{enumerate} 

\bigskip   

\textbf{Partie 2 :} Les tracés de cette partie seront réalisés sur une feuille 
de papier millimétré.

Celle-ci doit être remise avec la copie.

Tracer un repère orthogonal (O, I, J), O étant placé en bas à gauche. 
On prendra les unités suivantes : 

1 cm pour 10 séances sur l'axe des abscisses 

1 cm pour \np{10000} F sur l'axe des ordonnées. 

\medskip

\begin{enumerate}
 \item Tracer dans ce repère les droites : 

$D_{\text{A}}$ d'équation $y = \np{1500}x$ ; 

$D_{\text{B}}$ d'équation $y = 800x + \np{28000}$ ; 

$D_{\text{C}}$ d'équation $y = \np{98000}$. 

\medskip 

Pour les questions suivantes, on fera apparaître les traits de construction 
permettant d'y répondre. 

Aucun calcul n'est demandé.   

\item Wanda a choisi la formule A et elle a payé \np{90000} F. Combien a-t-elle suivi de séances ? 
\item Déterminer par le calcul le nombre de séances à partir duquel il est  plus avantageux de choisir la formule C. 
\end{enumerate} 
\end{document}
