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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2014}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
    
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Polynésie septembre 2014~\decofourright}}
    
\bigskip
    
\textbf{Durée : 2 heures} \end{center}

\begin{center}

Indication portant sur l'ensemble du sujet.
\end{center}
 
Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.
 
Pour chaque question, si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche, elle sera prise en compte dans la notation.

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 3 points}

\bigskip
 
Voici trois calculs effectués à la calculatrice. Détailler ces calculs afin de comprendre les résultats donnés par la calculatrice : 

\smallskip
 
Calcul \no 1 : $\dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{12}$
 
\smallskip

Calcul \no 2 : $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

\smallskip
 
Calcul \no 3 : $8 \times 10^{15} + 2 \times 10^{15} = 1 \times 10^{16}$

\bigskip
 
\textbf{Exercice 2 \hfill 4 points}

\bigskip

Pour choisir un écran de télévision, d'ordinateur ou une tablette tactile, on peut s'intéresser : 
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] à son format qui est le rapport longueur de l'écran largeur de l'écran 
\item[$\bullet~~$] à sa diagonale qui se mesure en pouces. Un pouce est égal à 2,54~cm.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Un écran de télévision a une longueur de 80~cm et une largeur de 45~cm.
 
S'agit-il d'un écran de format $\dfrac{4}{3}$ ou $\dfrac{16}{9}$ ? 
\item Un écran est vendu avec la mention \og 15 pouces \fg. On prend les mesures suivantes : la longueur est 30,5~cm et la largeur est 22,9~cm. 

La mention \og 15 pouces \fg{} est-elle bien adaptée à cet écran ? 
\item Une tablette tactile a un écran de diagonale 7 pouces et de format $\dfrac{4}{3}$ 
Sa longueur étant égale à 14,3~cm, calculer sa largeur, arrondie au mm près.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Exercice 3 \hfill 3 points}

\bigskip 

\begin{enumerate}
\item 

Une bouteille opaque contient 20~billes dont les couleurs peuvent être différentes. Chaque bille a une seule couleur. En retournant la bouteille, on fait apparaître au goulot une seule bille à la fois. La bille ne peut pas sortir de la bouteille.
 
Des élèves de troisième cherchent à déterminer les couleurs des billes contenues dans la bouteille et leur effectif. Ils retournent la bouteille 40 fois et obtiennent le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|m{3cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Couleur apparue& rouge& bleue& verte\\ \hline 
Nombre d'apparitions de la couleur&18 &8 &14\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
 
Ces résultats permettent-ils d'affirmer que la bouteille contient exactement 9 billes rouges, 4 billes bleues et 7 billes vertes ? 
\item Une seconde bouteille opaque contient 24 billes qui sont soit bleues, soit rouges, soit vertes. 

On sait que la probabilité de faire apparaître une bille verte en retournant la bouteille est égale à $\dfrac{3}{8}$ et la  
probabilité de faire apparaitre une bille bleue est égale à $\dfrac{1}{2}$. Combien de billes rouges contient la  bouteille ? 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 4 \hfill 4 points}

\bigskip

La figure ci-dessous, qui n'est pas dessinée en vraie grandeur, représente un cercle $(C)$ et plusieurs segments. On dispose des informations suivantes :

\parbox{0.5\linewidth}{\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] [AB] est un diamètre du cercle $(C)$ de centre O et de rayon 7,5 cm. 
\item[$\bullet~~$]K et F sont deux points extérieurs au cercle $(C)$. 
\item[$\bullet~~$]Les segments [AF] et [BK] se coupent en un point T situé sur le cercle $(C)$. 
\item[$\bullet~~$]AT = 12 cm, BT = 9 cm, TF = 4 cm, TK = 3 cm.
\end{itemize} 
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle ATB est rectangle. 
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{BAT}}$ arrondie au degré près. 
\item Les droites (AB) et (KF) sont-elles parallèles ? 
\item Calculer l'aire du triangle TKF.
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(9,7)
\pscircle(3.4,3){3}
\pspolygon(8.7,3.4)(1.6,5.4)(5.2,0.6)(6.7,6)%FABKF
\uput[dl](3.4,3){O} \uput[ul](1.6,5.4){A} \uput[dr](5.2,0.6){B} 
\uput[d](8.7,3.4){F} \uput[u](6.7,6){K} \uput[dr](6.2,4.1){T} 
\uput[l](0.6,4.3){$(C)$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](3.4,3) 
\end{pspicture}}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 5 \hfill 4 points}

\bigskip
 
Pour son anniversaire, Julien a reçu un coffret de tir à l'arc.
 
Il tire une flèche. La trajectoire de la pointe de cette flèche est représentée ci-dessous.
 
La courbe donne la hauteur en mètres (m) en fonction de la distance horizontale en mètres (m) parcourue par la flèche. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-1)(11,5)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,gridcolor=cyan,subgridcolor=cyan](0,0)(11,5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(11,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](10.8,0){$x$}
\uput[l](0,4.6){$y$}
\uput[d](9,-0.5){Distance horizontale (m)}
\rput(1,4.8){Hauteur (m)}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{1 0.9 x mul add x dup mul 0.1 mul sub}
\end{pspicture}
\end{center} 

\begin{enumerate}
\item Dans cette partie, les réponses seront données grâce à des \textbf{lectures graphiques}. Aucune justification n'est attendue sur la copie. 
	\begin{enumerate}
		\item De quelle hauteur la flèche est-elle tirée ? 
		\item À quelle distance de Julien la flèche retombe-t-elle au sol? 
		\item Quelle est la hauteur maximale atteinte par la flèche ?
	\end{enumerate} 
\item Dans cette partie, les réponses seront justifiées par des \textbf{calculs} :
 
La courbe ci-dessus représente la fonction $f$ définie par 

$f(x) = - 0,1 x^2 + 0,9x + 1$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f(5)$. 
		\item La flèche s' élève-t-elle à plus de 3 m de hauteur ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\bigskip
 
\textbf{Exercice 6 \hfill 6 points}

\bigskip

ABC est un triangle tel que AB = 5 cm, BC = 7,6 cm et AC = 9,2 cm. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer ce triangle en vraie grandeur. 
\item ABC est-il un triangle rectangle? 
\item ~

\parbox{0.4\linewidth}{Avec un logiciel, on a construit ce triangle, puis : 

- on a placé un point P mobile sur le côté [AC] ;
 
- on a tracé les triangles ABP et BPC ;
 
- on a affiché le périmètre de ces deux triangles.}\hfill
\parbox{0.55\linewidth}{\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(11.7,6)
\pspolygon(0.5,0.5)(11.2,0.5)(4,5.3)%ACB
\psline(4,5.3)(5.1,0.5)%BP
\uput[dl](0.5,0.5){A} \uput[ur](4,5.3){B} \uput[dr](11.2,0.5){C} \uput[d](5.1,0.5){P}
\rput(2.8,1){\scriptsize Périmètre de ABP = 13,29}
\rput(8.15,1){\scriptsize Périmètre de BPC = 17,09} 
\end{pspicture}} 
 
\medskip 
	\begin{enumerate}
		\item On déplace le point P sur le segment [AC].
		 
Où faut-il le placer pour que la distance BP soit la plus petite possible? 
		\item On place maintenant le point P à 5~cm de A. 

Lequel des triangles ABP et BPC a le plus grand périmètre ? 
		\item On déplace à nouveau le point P sur le segment [AC]. 

Où faut-il le placer pour que les deux triangles ABP et BPC aient le même périmètre ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\bigskip
 
\textbf{Exercice 7 \hfill 5 points}

\bigskip
 
On considère ces deux programmes de calcul :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X p{0.2cm}X} 
\textbf{Programme A :}& &\textbf{Programme B :}\\
\psframebox[framearc=0.25]{\parbox{4.9cm}{Choisir un nombre\\Soustraire 0,5\\Multiplier le résultat par le double\\du nombre choisi au départ}}
&& 
\psframebox[framearc=0.25]{\parbox{4.9cm}{
Choisir un nombre\\
Calculer son carré\\
Multiplier le résultat par 2\\
Soustraire \`a ce nouveau résultat\\
le nombre choisi au départ}}\\
\end{tabularx}
\end{center} 
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que si on applique le programme A au nombre 10, le résultat est 190.
		\item Appliquer le programme B au nombre 10.
	\end{enumerate} 
\item On a utilisé un tableur pour calculer des résultats de ces deux programmes. Voici ce qu'on a obtenu : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A& B& C\\ \hline 
1& Nombre choisi& Programme A& Programme B\\ \hline 
2 &1 &1 &1\\ \hline 
3 &2 &6 &6 \\ \hline 
4 &3 &15 &15 \\ \hline 
5 &4 &28 &28 \\ \hline 
6 &5 &45 &45 \\ \hline 
7& 6 &66 &66\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center} 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle formule a-t-on saisie dans la cellule C2 puis recopiée vers le bas ? 
		\item Quelle conjecture peut-on faire à la lecture de ce tableau? 
		\item Prouver cette conjecture. 
	\end{enumerate}
\item Quels sont les deux nombres à choisir au départ pour obtenir 0 à l'issue de ces programmes ? 

\bigskip
 
\textbf{Exercice 8 \hfill 6 points}

\bigskip
 
Un couple a acheté une maison avec piscine en vue de la louer. Pour cet achat, le couple a effectué un prêt auprès de sa banque. Ils louent la maison de juin à septembre et la maison reste inoccupée le reste de l'année.

\medskip
 
\textbf{Information 1 : Dépenses liées à cette maison pour l'année 2013}

\medskip
 
Le diagramme ci-dessous présente, pour chaque mois, le total des dépenses dues aux différentes taxes, aux abonnements (électricité, chauffage, eau, internet), au remplissage et au chauffage de la piscine.
 
\begin{center}
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.008cm}
\begin{pspicture}(-1,-110)(13,700)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=100](0,0)(13,601)
\multido{\n=0+50}{13}{\psline(0,\n)(13,\n)}
\rput(2,650){Dépenses (en \euro)}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.75,0)(1.25,250)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.75,0)(2.25,250)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.75,0)(3.25,250)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.75,0)(4.25,250)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](4.75,0)(5.25,450)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](5.75,0)(6.25,550)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](6.75,0)(7.25,550)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](7.75,0)(8.25,550)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](8.75,0)(9.25,550)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](9.75,0)(10.25,300)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](10.75,0)(11.25,150)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](11.75,0)(12.25,150)
\rput(1,-80){\rotatebox{45}{janvier}}
\rput(2,-80){\rotatebox{45}{février}}
\rput(3,-80){\rotatebox{45}{mars}}
\rput(4,-80){\rotatebox{45}{avril}}
\rput(5,-80){\rotatebox{45}{mai}}
\rput(6,-80){\rotatebox{45}{juin}}
\rput(7,-80){\rotatebox{45}{juillet}}
\rput(8,-80){\rotatebox{45}{août}}
\rput(9,-80){\rotatebox{45}{septembre}}
\rput(10,-80){\rotatebox{45}{octobre}}
\rput(11,-80){\rotatebox{45}{novembre}}
\rput(12,-80){\rotatebox{45}{décembre}}
\end{pspicture}
\end{center} 

\textbf{Information 2 : Remboursement mensuel du prêt}

\medskip
 
Chaque mois, le couple doit verser 700~euros à sa banque pour rembourser le prêt.

\medskip
 
\textbf{Information 3 : Tarif de location de la maison}

$\bullet~~$ Les locations se font du samedi au samedi. 

$\bullet~~$Le couple loue sa maison du samedi 7 juin au samedi 27 septembre 2014. 

$\bullet~~$Les tarifs pour la location de cette maison sont les suivants :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline 
\textbf{Début}& \textbf{Fin}& \textbf{Nombre de semaines}&\textbf{Prix de la location}\\ \hline 
07/06/2014& 05/07/2014& 4 semaines &750 euros par semaine\\ \hline  
05/07/2014 &23/08/2014 &7 semaines &... euros par semaine\\ \hline  
23/08/2014 &27/09/2014 &5 semaines &750 euros par semaine\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}
 
Pour l'année 2014, avec l'augmentation des différents tarifs et taxes, le couple prévoit que le montant des dépenses liées à la maison sera 6\,\% plus élevé que celui pour 2013.
 
Expliquer pourquoi le total des dépenses liées à la maison s'élèvera à \np{4505}~\euro{} en 2014.
 
On suppose que le couple arrive à louer sa maison durant toutes les semaines de la période de location. À quel tarif minimal (arrondi à la dizaine d'euros) doit-il louer sa maison entre le 5/07 et 23/08 pour couvrir les frais engendrés par la maison sur toute l'année 2014 ? 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Maîtrise de la langue \hfill 4 points}
\end{document}