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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1978}
\rfoot{\small Pondichéry}
\lfoot{\small juin 1978}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Pondichéry juin 1978 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie I}

\medskip

Soit les fonctions $f$ et $g$ de $\R$ dans $\R$ définies par

\[\begin{array}{l c l}
f(x) &=&12x^2 - 18x,\\
g(x)&=&4x^2+9-12x.
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $f(x)$ et $g(x)$ sous forme d'un produit de deux polynômes du premier degré.
\item Déterminer les ensembles de définition $\mathcal{D}_f$, et $\mathcal{D}_g$, des fonctions $f$ et $g$.
\item Déterminer les antécédents par $f$ de 0 et les antécédents par $g$ de 1.
\item Les fonctions $f$ et g sont-elles des applications, des bijections ? (Justifier.)
\item Déterminer les réels qui ont la même image par $f$ et $g$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij. 

Soit $\left(D_1\right)$ la droite dont une équation est $2x - y - 3 = 0$ et

\phantom{Soit }$\left(D_2\right)$ la droite dont une équation est $3x - 4y - 2 = 0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer par le calcul les coordonnées du point
d'intersection A de $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$.
\item Construire les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$.
\item $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ coupent l'axe des ordonnée respectivement en B et C.

Calculer les coordonnées du point I, milieu du segment [BC], puis de E, symétrique de A par rapport à I.

Quelle est la nature du quadruplet (A, B, E, C) ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie III}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre. 

Dans le plan euclidien, on considère un triangle (M, N, P) rectangle en N tel que 

$d$(M, N) $= 6 $ et $d$(N, P) $= 8$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $\alpha$ l'écart angulaire en degré, de l'angle
géométrique $\widehat{\text{MPN}}$.

Calculer $\tan \alpha$. En déduire la valeur approchée par excès, à un degré près, de $\alpha$.
\item Soit I le point du segment [NP] tel que $d$(N, I) $= 5$.

La parallèle à la droite (MN) passant par I coupe la droite (MP) en H.

Calculer $d$(H, I), $d$(H, P).

On donne l'extrait de table suivant :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$\alpha$& $\sin \alpha$&$\tan \alpha$&$\cos \alpha$\\ \hline
35&\np{0,5736}&\np{0,7002}&\np{0,8192}\\ \hline
36&\np{0,5878}&\np{0,7265}&\np{0,8090}\\ \hline
37&\np{0,6018}&\np{0,7536}&\np{0,7986}\\ \hline
38&\np{0,6157}&\np{0,7813}&\np{0,7880}\\ \hline
39&\np{0,6293}&\np{0,8098}&\np{0,7771}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}