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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1979}
\rfoot{\small Pondichéry}
\lfoot{\small juin 1979}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Pondichéry juin 1979 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère les applications $f$ et $g$ telles que

\[\begin{array}{l l c l}
f :&\R&\to &\R\\
&x &\longmapsto &9x^2 - 1.
\end{array} \qquad \begin{array}{l l c l}
g :&\R&\to &\R\\
&x &\longmapsto &(3x - 1)^2
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Effectuer g(x).


\item Calculer $f\left(\dfrac13\right),\:g(0,1)$ et $f\left(1 - \sqrt 3\right)$.
\item Sachant que $1,732< \sqrt 3 < 1,733$, encadrer le réel
$10f\left(1 - \sqrt 3\right)$ par deux entiers consécutifs.
\item Quels sont, par $g$, les antécédents de $9$ ?
\item Écrire $\sqrt{g(x)}$ sans radical, et résoudre, dans $\R$, l'équation $\sqrt{g(x)} = 5$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit $p$ la fonction polynôme définie par
\[p(x) = 9x^2- 1- 3\left(9x^2 - 6x +1\right)\]

et $q$ la fonction rationnelle telle que
\[q(x) = \dfrac{2g(x)}{p(x)}.\]

\begin{enumerate}
\item Factoriser $p(x)$.
\item Déterminer l'ensemble de définition de $q$ et simplifier $q(x)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

L'unité étant le centimètre, soit $\mathcal{C}$ un cercle de centre O et de rayon 4 et [AB] un diamètre de ce cercle.

Sur la tangente en B, on considère un point I tel que IB $= 4$.

La droite (AI), coupe la médiatrice du segment [AB] en J et le cercle $\mathcal{C}$ en D.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que J est milieu du segment [AI].
\item Calculer les longueurs des segments [AI], [AJ]
et [OJ].
\item Montrer que les points O, J, B et D appartiennent à un même cercle $\mathcal{C}'$ dont on précisera le centre et le rayon.
\item Le cercle $\mathcal{C}'$ recoupe la droite (BI) en E.

Montrer que E est milieu du segment (BI).
\end{enumerate}
\end{document}