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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1982}
\rfoot{\small Pondichéry}
\lfoot{\small juin 1982}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Pondichéry juin 1982 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

On considère l'application $f$, de $\R$ dans $\R$ définie par

\[f(x)= 2 - x\sqrt 3.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $f(0)$ et $f\left(\dfrac{\sqrt 3}{2}\right)$.
\item Sachant que $1,732 < \sqrt 3 < 1,733$, donner un encadrement de $f(1)$ à $0,001$ près.
\item Résoudre, dans $\R$ l'équation: $f(x) = 0$.
\item Résoudre, dans $\R$ les inéquations : 

\[f(x) > 0\qquad ;\qquad  f(x) \geqslant x.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

$(\Delta)$ et $(\Delta')$ sont deux droites orthogonales du plan sécantes en O.

L est un point de $(\Delta)$ tel que $d$(O, L) $= 2$ (unité : 1 cm).

A est le symétrique de O par rapport au point L.

$(D)$ est la parallèle à $(\Delta')$ contenant L.

D et C sont deux points de $(D)$ tels que :

\begin{center} $d$(L, B) = $d$(L, C) $= 2 d$(O, L). \end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Compléter la figure ci-après.
\item Montrer que (O, C, A, B) est un losange.
\item Calculer, à un degré près par défaut, la mesure de
l'angle $\widehat{\text{ACL}}$. 

On pourra utiliser le tableau ci-après.

\[\begin{array}{|c |c|}\hline
x \:(\text{degrés}) 	&\tan x\\ \hline
25				&\np{0,4663}\\ \hline
26				&\np{0,4877}\\ \hline
27				&\np{0,5095}\\ \hline
28				&\np{0,5317}\\ \hline
29				&\np{0,5543}\\ \hline
\end{array}\]
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-5)(5,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-4,-5)(5,4)
\psline[linewidth=1.25pt](2,-5)(2,4)
\uput[dl](0,0){O}\uput[ur](2,0){L}\uput[r](2,-4){B}\uput[r](2,-4.9){$(D)$}
\uput[d](-3.8,0){$(\Delta)$}\uput[l](0,-4.8){$(\Delta')$}
\psdots(2,-4)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip



\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Le plan est muni d'un repère \Oij{} orthonormé.

Placer les points suivants :

\begin{center} A(1~;~2)\:;\qquad B$(-2~;~-1)$\:; \qquad C$(4~;~-1)$\:; \qquad D$(6~;~-3)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les points A, C et D sont alignés. 

Écrire une équation de la droite (AD), une équation de la droite (BC).
\item Que peut-on dire du triangle (A, B, C) ?
\end{enumerate}
\end{document}