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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Pondichéry avril 1955~\decofourright\\[7pt]Enseignement long et enseignement court}}}
\end{center}

\smallskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

Soient $x'$O$x$ et $y'$O$y$ deux axes rectangulaires (on prend le centimètre pour unité sur les deux axes).

Soient le point A d'abscisse 0 et d'ordonnée 1, le point B d'abscisse 2 et d'ordonnée 3. 

On appelle D le pied de la perpendiculaire menée de B sur l'axe
O$y$ et M un point variable de O$x$ tel que OM $= x$ \:($x$ positif).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Évaluer en fonction de $x$ l'aire du quadrilatère ODBM.
\item Utiliser le résultat obtenu pour évaluer, en fonction de $x$, l'aire du triangle MAB.
\item Déterminer $x$ pour que l'aire du triangle MAB soit égale à la moitié de l'aire du quadrilatère ODBM.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\medskip

Dans l'intérieur de l'angle $\widehat{\text{A}}$ d'un triangle isocèle ABC (AB = AC) on mène une demi-droite [AEF), rencontrant la base [BC] en E et le cercle circonscrit à
ABC en F.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les triangles ABE et AFB sont semblables.

En déduire que le produit AE $\times$ AF reste constant quand E parcourt [BC].
\item Montrer que les cercles circonscrits à BEF et à EFC sont tangents respectivement à (AB) et à (AC).
\item La droite (CH), perpendiculaire à (AF), rencontre (FB) en I.

Montrer que (AF) est médiatrice de [CI].

En déduire le lieu du point I lorsque E décrit le côté [CB] du triangle fixe ABC.
\item On suppose que AC $= 6$ cm et que, l'angle $\widehat{\text{A}}$ étant supérieur à $30\degres$, l'angle $\widehat{\text{CAF}}$ vaut $30\degres$. 

Évaluer l'aire du triangle AIC.
\end{enumerate}
\end{document}