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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{avril 1958}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Pondichéry avril 1958}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On donne les expressions suivantes :

\[\begin{array}{l c l}
A&=&(x - 2)(x + 3) + 2(x - 2)^2,\\
B&=&9x^2 - 6x + 1.
\end{array}\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Décomposer $A$ et $B$ en produits de facteurs du premier degré et résoudre les équations suivantes : 
\[A = 0, \qquad B = 0, \qquad A = B.\]
\item Former la fraction $C = \dfrac BA$ et la simplifier.

Montrer qu'elle peut se mettre sous la forme $C_1 = \dfrac yy', \:y$ et $y'$ étant des polynômes du premier degré en $x$.

Y a-t-il des valeurs de $x$ pour lesquelles $C$ n'a pas de sens ; ou pour lesquelles C admet une infinité de valeurs ?
\item Tracer sur un même graphique les droites représentatives des fonctions $y$ et $y'$.

Calculer les coordonnées de leur point d'intersection.

Calculer $C$ pour la valeur de $x$ égale à l'abscisse de ce point.

Expliquer le résultat.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soient sur une droite $xy$, les points A, B, C dans cet ordre. On donne AB $= 2R$ et BC $= R$.

Soient $(\mathcal{C})$ le cercle de diamètre [AB], de centre O, et $(\mathcal{C}')$ un cercle variable de centre O$'$ passant par B et C.


\medskip

\begin{enumerate}
\item M étant le deuxième point commun aux cercles $(\mathcal{C})$ et $(\mathcal{C}')$ on trace [AM] ; cette droite recoupe en P le cercle $(\mathcal{C}')$.

Démontrer que les triangles ABM et APC sont semblables.

Sur quelle ligne se déplace P lorsque $(\mathcal{C}')$ varie ?
\item (PB) recoupe le cercle $(\mathcal{C})$ en N.

Montrer que le produit BP $\cdot$ BN est égal au produit BA $\cdot$ BC et donner sa valeur en fonction de $R$.
\item Comment construire $(\mathcal{C}')$ pour que l'on ait AM = MP ?

Calculer, dans le cas où cette condition est remplie, le rayon du cercle $(\mathcal{C}')$ et les longueurs des côtés du quadrilatère MBCP.

Que dire alors du quadrilatère OMO$'$B et des quatre triangles AMB, ABN, BPM, PBC ?
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{N. B. -} Faire des figures claires en nombre suffisant.
\end{document}