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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1985}
\rfoot{\small Pondichéry}
\lfoot{\small juin 1985}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Pondichéry juin 1985 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère la fonction numérique $f$ définie  de $\R$ dans $\R$ par

\[f(x) = 9(2x - 1)^2 - (3x+2)^2.\]

\begin{enumerate}
\item Développer $f(x)$ et simplifier son écriture.
\item Factoriser $f(x)$.
\item Calculer $f(0),\: f\left(\dfrac53\right),\: f\left(2\sqrt 3\right)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = 5$.
		\item En déduire que $f$ n'est pas une bijection de $\R$ dans $\R$.
	\end{enumerate}
\item On donne 

\[f(x) = (3x - 5)(7x + 2),\]

où $x$ est un réel.

Résoudre, dans $\R$ l'équation $f(x) = g(x)$.
	\begin{enumerate}
		\item Construire, dans un repère \Oij, les représentations graphiques $(D)$ et $(D')$ des fonctions affines $u$ et $v$ définies de $\R$ dans $\R$ par
		
\[\begin{array}{l l c l}
u :&\R&\to &\R\\
&x &\longmapsto&9x - 1\\
\end{array} \qquad 
\begin{array}{l l c l}
v :&\R&\to &\R\\
 &x &\longmapsto& 7x+2\\
 \end{array}\]
 
		\item Montrer que $(D)$ et $(D')$ sont sécantes.
		\item Calculer les coordonnées de M, point
d'intersection de $(D)$ et $(D')$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij, on considère les points A, B et C tels que 

\[\begin{array}{l c l}
\vect{\text{OA}}&=&7\vect{\imath} - \phantom{7}\vect{\jmath} \\
\vect{\text{OB}}&=&\phantom{7}\vect{\imath} + \phantom{7}\vect{\jmath} \\
\vect{\text{OC}}&=&2\vect{\imath} + 4\vect{\jmath} \\
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Placer les points A, B, C.
\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ dans la base $\left(\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$.
\item Calculer AB$^2$, AC$^2$ et BC$^2$.

Qu'en conclut-on pour le triangle ABC ?
\item Soit I le milieu de [AC] et soit B$'$ le symétrique de B dans la symétrie de centre I. 

Trouver les coordonnées de I et de B$'$.

Montrer que B$'$ est un élément de la droite d'équation $y =3x - 22$.
\end{enumerate}
\end{document}