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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Pondichéry juin 1961~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Simplifier l'expression 
\[y_1 = \dfrac{\dfrac{x -2}{x + 2} - \dfrac{x + 2}{x - 2}}{\dfrac{3}{x + 2} - \dfrac{3}{x - 2}}\]
pour montrer qu'elle est égale à $\dfrac{2x}{3}$.

\item Sur un même graphique, en prenant le centimètre comme unité, construire les courbes représentative des fonctions
\begin{center}$y_1 = \dfrac{2x}{3}, \qquad y_2 = \dfrac x3 - 3,\qquad y_3 = -3x + 3$.\end{center}
\item Soient $\left(D_1\right), \:\left(D_2\right)$, \:et $\left(D_3\right)$ les représentations graphiques respectives de $y_1, \: y_2$ et $y_3$.

$\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ se coupent en A, $\left(D_1\right)$ et $\left(D_3\right)$ se coupent en B, $\left(D_2\right)$ et $\left(D_3\right)$ se coupent en  C.

Calculer les coordonnées des points d'intersection des trois droites.
\item $\left(D_2\right)$ coupe l'axe $y'y$ en D et $\left(D_3\right)$  coupe le même axe en E.

Trouver l'équation de la droite joignant C au milieu de [DE].
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit ABC un triangle rectangle en A.


\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le point D du segment [AC] tel que $\dfrac{\text{DC}}{\text{DA}} = 2$.
\item On mène par D la parallèle à (AB), qui coupe (BC) en E.

Soit I le milieu de [DE].

Montrer que I est le centre de gravité du triangle ABC.

Préciser la position de E sur [BC].
\item Soient AB $= 3$~cm et AC $= 4$~cm.

Calculer la longueur BC et la longueur de la médiane [BN]
à $\dfrac{1}{10}$ près.

En déduire là valeur de BI.
\item Préciser la position du point P de (AE) tel que l'on ait
\[\overline{\text{EA}} \times \overline{\text{EP}} = \overline{\text{EB}} \times \overline{\text{EC}}.\]
\end{enumerate}
\end{document}