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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1964}
\rfoot{\small Pondichéry}
\lfoot{\small juin 1964}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Pondichéry juin 1964 \decofourright}}
\\[8pt]\textbf{ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}
\end{center}

\begin{center}\textbf{\large ALGÈBRE}\end{center}

Soit OAB un triangle rectangle en O ; OA $= 12$~cm, OB $= 5$~cm.

Un point M situé sur le segment [OA] est défini par AM $= x$.

La parallèle à (OB) mené par M coupe (AB) en N et la parallèle à (OA) menée  par N coupe (OB) en P{}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Évaluer, en fonction de $x$, les longueurs des segments [MN] et [NP], puis le demi-périmètre 
$y =$ MN $+$ NP, du rectangle OMNP{}.
\item Représenter graphiquement la variation de $y$ en
fonction de $x$ lorsque M décrit le segment [OA].
\item Trouver graphiquement, puis par le calcul la valeur de $x$ pour laquelle $y = \dfrac{27}{4}$.\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{\large GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On considère un cercle de centre O et de rayon $R$, dans lequel la corde [AB] sous-tend un arc mesurant $90\degres$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer AB en fonction de $R$.
\item On prolonge [AB] au-delà de B d'une longueur BP = AB et l'on trace de P les tangentes (PM) et (PN) à la circonférence (O), en M et N.

Calculer PM et OP{}.
\item On trace la corde [MN], qui coupe (OP) au point I.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer la similitude des triangles OMP, OMI, IMP.
		\item Donner les rapports de similitude de ces triangles pris deux à deux.
		\item En déduire que OI $= \dfrac{\text{MI}}{2}$ et MI = $= \dfrac{\text{IP}}{2}$.
		\item Calculer les longueurs des segments [OI], [MI] et [IP], en fonction de $R$.
	\end{enumerate}
\item Calculer le périmètre et l'aire du triangle MNP.
\end{enumerate}
\end{document}