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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Pondichéry juin 1970~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

On donne les polynômes
\[\begin{array}{l c l}
P(x)&=& (2x - 3)(x - 1)^2- 4(2x - 3)\:\:\text{et}\\
Q(x)&=&(x + 1)^2(x - 3).
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Pour quelles valeurs de $x$ la fraction
\[F(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}\]
est-elle définie ?

Simplifier $F(x)$.
\item Dans un système d'axes perpendiculaires, construire les représentations graphiques des équations 
\begin{center}$y=2x - 3$\qquad et\qquad  $y = x + 1$.\end{center}

On prendra le centimètre comme unité.
\item Déterminer $x$ pour que $F(x) = 3$.

Comment vérifier ce résultat sur le graphique construit à la question 2.
\item Déterminer graphiquement la valeur de $x$ pour
laquelle $F(x) = 1$. Vérifier ce résultat par le calcul.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Sur une droite $xy$ on donne deux points, A et B tels que la mesure en centimètres du segment [AB] est 1.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le point D (entre A et B) et le point (à l'extérieur de [AB]) qui divisent le segment [AB] dans le rapport $\dfrac14$.

Calculer les mesures, en centimètres, des segments [DA], [DB], [EA] et [EB].
\item On appelle O le milieu de [DE] et l'on oriente la droite $xy$ de A vers B.

Calculer $\overline{\text{OA}},\: \overline{\text{OB}}$ et vérifier que 
\[\overline{\text{OA}} \cdot \overline{\text{OB}} = \text{OE}^2 = \text{OD}^2.\]

\item Soit M un point du cercle de diamètre [ED].

On mène par le point A les parallèles à (ME) et à (MD), qui coupent respectivement la droite (BM) en F et G.

Évaluer les rapports $\dfrac{\text{MF}}{\text{B}}$ et $\dfrac{\text{MG}}{\text{B}}$.

En déduire que
\begin{center} MF = MG = MA.\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}